Question

【題目】如圖，內(nèi)接于，且為的直徑．的平分線交于點，過點作的切線交的延長線于點，過點作于點，過點作于點．

（1）求證：；

（2）試猜想線段，，之間有何數(shù)量關(guān)系，并加以證明；

（3）若，，求線段的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2），證明見解析;（3）

【解析】

（1）連結(jié)OD，先由已知△ABD是等腰直角三角形，得DO⊥AB，再根據(jù)切線的性質(zhì)得OD⊥PD，于是可得到DP∥AB；

（2）由“一線三垂直模型”易得，進(jìn)而可得．

（3）利用勾股定理依次可求直徑AB=10，，，得，再證明可得，，進(jìn)而由求得PD即可．

（1）證明：連結(jié)，如圖，

∵為的直徑，

∴，

∵的平分線交于點，

∴，

∴，

∴為等腰直角三角形，

∴，

∵為的切線，

∴，

∴；

（2）答：，證明如下：

∵是的直徑，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

在和中，

∴，

∴，，

∴，

即.

（3）解：在中，，

∵為等腰直角三角形，

∴

∵，

∴為等腰直角三角形，

∴，

在中，，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴，，

而，

∴，

∴．