Question

【題目】對(duì)于鈍角β，定義它的三角函數(shù)值如下：

sinβ=sin（180°﹣β），cosβ=﹣cos（180°﹣β），tanβ=﹣tan（180°﹣β）．

（1）求sin120°，cos135°，tan150°的值；

（2）若一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角的比是1：1：4，A，B是這個(gè)三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)，sinA，cosB是方程ax2﹣bx﹣1=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求a、b的值及∠A和∠B的大�。�

Answer 1

【答案】（1），，-（2）當(dāng)A=B=30°時(shí)，a=﹣，b=﹣2﹣；當(dāng)A=30°、B=120°時(shí)，a=4，b=0

【解析】

（1）根據(jù)給定鈍角的三角函數(shù)值，代入數(shù)據(jù)，即可求出結(jié)論；
（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理以及三個(gè)角的比例可得出三角形的三個(gè)內(nèi)角，分①A=B=30°；②A=30°、B=120°；③A=120°、B=30°．三種情況考慮，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值找出sinA、cosB的值，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系找出關(guān)于a、b的二元一次方程組，解方程組即可得出結(jié)論．

（1）sin120°=sin（180°﹣120°）=sin60°=；

cos135°=﹣cos（180°﹣135°）=﹣cos45°=﹣；

tan150°=﹣tan（180°﹣150°）=﹣tan30°=﹣．

（2）∵一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角的比是1：1：4，且三角形的內(nèi)角和為180°，

∴三角形的三個(gè)內(nèi)角為30、30、120．

①當(dāng)A=30°、B=30°時(shí)，sinA=，cosB=，

∵sinA，cosB是方程ax2﹣bx﹣1=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

∴ ，

解得：a=﹣，b=﹣2﹣；

②當(dāng)A=30°、B=120°時(shí)，sinA=，cosB=﹣，

∵sinA，cosB是方程ax2﹣bx﹣1=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

∴，

解得：a=4，b=0；

③當(dāng)A=120°、B=30°時(shí)，sinA=，cosB=，

此時(shí)sinA=cosB，不滿足題意．

綜上可知：當(dāng)A=B=30°時(shí)，a=﹣，b=﹣2﹣；當(dāng)A=30°、B=120°時(shí)，a=4，b=0．