Question

8．已知直線y=x-2t與拋物線y=a（x-t）²+k（a＞0，t≥0，a，t，k為已知數(shù)），在t=2時，直線剛好經(jīng)過拋物線的頂點．
（1）求k的值．
（2）t由小變大時，兩函數(shù)值之間大小不斷發(fā)生改變，特別當t大于正數(shù)m時，無論自變量x取何值，y=x-2t的值總小于y=a（x-t）²+k的值，試求a與m的關系式．
（3）當0≤t＜m時，設直線與拋物線的兩個交點分別為A，B，在a為定值時，線段AB的長度是否存在最大值？若有，請求出相應的t的取值；若沒有，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由拋物線的頂點式，可以得知拋物線的對稱軸以及頂點坐標，將t=2代入直線，并將拋物線的頂點坐標代入直線中，即可求得k的值；
（2）將y=x-2t代入y=a（x-t）²+k中，得到關于x的一元二次方程，由根的判別式即可得知t的取值范圍，從而得出m的值；
（3）聯(lián)立（2）中的關于x的一元二次方程，當兩根之差最大時，線段AB長度最大，從而可得出線段AB的長度最大時t的值．

解答 解：（1）拋物線y=a（x-t）²+k的對稱軸為x=t，頂點坐標為（t，k）．
∵當t=2時，直線y=x-2t=x-4過點（2，k），
∴k=2-4，即k=-2．
（2）將y=x-2t代入y=a（x-t）²-2中，得：
x-2t=a（x-t）²+k，即ax²-（2at+1）x+at²+2t-2=0，
若要y=x-2t的值總小于y=a（x-t）²-2的值，
則有△=（2at+1）²-4a（at²+2t-2）＜0，
即4at＞8a+1，
∵a＞0，
∴t＞2+$\frac{1}{4a}$．
∵當t大于正數(shù)m時，無論自變量x取何值，y=x-2t的值總小于y=a（x-t）²+k的值，
∴m=2+$\frac{1}{4a}$．
（3）過點A做x軸的平行線l，過點B作y軸的平行線交l于點C，則有BC⊥AC，如圖所示，

∵AB=$\frac{AC}{cos∠BAC}$，∠BAC為定值，
∴當AC最大時，AB也最大．
將y=x-2t代入y=a（x-t）²-2中，得：
ax²-（2at+1）x+at²+2t-2=0，
當0≤t＜m時，△＞0，即方程ax²-（2at+1）x+at²+2t-2=0有兩個不相等的根，
解得x₁=$\frac{2at+1-\sqrt{△}}{2a}$，x₂=$\frac{2at+1+\sqrt{△}}{2a}$，
AC=x₂-x₁=$\frac{\sqrt{△}}{a}$．
∵a為定值，
∴當AB最大時，△=8a+1-4at最大，
由△=8a+1-4at在0≤t＜m內的單調性可知，當t=0時，△最大．
故當t=0時，線段AB的長度最大．
∵直線AB的解析式為y=x-2t，直線AC∥x軸，
∴tan∠BAC=1，
∴∠BAC=45°．
當a=0時，AC=$\frac{\sqrt{△}}{a}$=$\frac{\sqrt{8a+1}}{a}$，AB=$\frac{AC}{sin∠BAC}$=$\frac{\sqrt{16a+2}}{a}$．
故a為定值時，線段AB的長度存在最大值$\frac{\sqrt{16a+2}}{a}$，此時t的取值為0．

點評 本題考查了二次函數(shù)的綜合運用，解題的關鍵是：（1）找到拋物線的頂點坐標，代入直線解析式；（2）將y=x-2t代入y=a（x-t）²+k中，得到關于x的一元二次方程，令根的判別式小于0；（3）將y=x-2t代入y=a（x-t）²+k中，得到關于x的一元二次方程，表示出來兩根，找兩根之差最大．