【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,∠ACB=90°,OC=2OB,tan∠ABC=2,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,0).拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過A、B兩點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式;

(2)點(diǎn)P是直線AB上方拋物線上的一點(diǎn),過點(diǎn)P作PD垂直x軸于點(diǎn)D,交線段AB于點(diǎn)E,使PE=DE.

①求點(diǎn)P的坐標(biāo);

②在直線PD上是否存在點(diǎn)M,使△ABM為直角三角形?若存在,求出符合條件的所有點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

【答案】1y=﹣x23x+4;(2)①P(﹣1,6),②存在,M(﹣13+)或(﹣1,3)或(﹣1,﹣1)或(﹣1,).

【解析】

1)先根據(jù)已知求點(diǎn)A的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式;
2)①先得AB的解析式為:y=-2x+2,根據(jù)PDx軸,設(shè)Px,-x2-3x+4),則Ex,-2x+2),根據(jù)PE=DE,列方程可得P的坐標(biāo);
②先設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo),根據(jù)兩點(diǎn)距離公式可得AB,AMBM的長,分三種情況:ABM為直角三角形時,分別以AB、M為直角頂點(diǎn)時,利用勾股定理列方程可得點(diǎn)M的坐標(biāo).

解:(1)∵B1,0),∴OB=1,

OC=2OB=2,∴C(﹣2,0),

RtABC中,tanABC=2,

, , AC=6,

A(﹣2,6),

A(﹣2,6)和B10)代入y=x2+bx+c得:,

解得:

∴拋物線的解析式為:y=x23x+4;

2)①∵A(﹣2,6),B1,0),

AB的解析式為:y=2x+2,

設(shè)Px,﹣x23x+4),則Ex,﹣2x+2),

PE=DE,

∴﹣x23x+4﹣(﹣2x+2=(﹣2x+2),

x=-11(舍),

P(﹣1,6);

②∵M在直線PD上,且P(﹣1,6),

設(shè)M(﹣1y),

B1,0),A(﹣26

AM2=(﹣1+22+y62=1+y62,

BM2=1+12+y2=4+y2

AB2=1+22+62=45,

分三種情況:

i)當(dāng)∠AMB=90°時,有AM2+BM2=AB2,

1+y62+4+y2=45

解得:y=3,

M(﹣13+)或(﹣1,3);

ii)當(dāng)∠ABM=90°時,有AB2+BM2=AM2,

45+4+y2=1+y62, y=1

M(﹣1,﹣1),

iii)當(dāng)∠BAM=90°時,有AM2+AB2=BM2,

1+y62+45=4+y2 y=,

M(﹣1,);

綜上所述,點(diǎn)M的坐標(biāo)為:∴M(﹣1,3+)或(﹣1,3)或(﹣1,﹣1)或(﹣1,).

練習(xí)冊系列答案
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1)若該銷售公司在第一季度售完兩種建材后總銷售額不低于96.6萬元,求至多銷售種品牌的建材多少件?

2)該銷售公司決定在2019年第二季度調(diào)整價格,將種品牌的建材在上一個季度的基礎(chǔ)上下調(diào),種品牌的建材在上一個季度的基礎(chǔ)上上漲;同時,與(1)問中最低銷售額的銷售量相比,種品牌的建材的銷售量增加了種品牌的建材的銷售量減少了,結(jié)果2019年第二季度的銷售額比(1)問中最低銷售額增加,求的值.

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1)如圖②,若EF平行于地面AB,王阿姨的衣服穿在衣架上的總長度是110cm,垂掛在晾衣桿OE上是否會拖到地面上?說明理由.

2)如圖③,當(dāng)支撐桿DM支到點(diǎn)M′,此時∠EOB78°,點(diǎn)E離地面距離最大.保證衣服不拖到地面上,衣服穿在衣架上的總長度最長約為多少厘米?(結(jié)果取整)參考數(shù)據(jù):(

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1)根據(jù)上圖求出下表所缺數(shù)據(jù);

平均數(shù)

中位數(shù)

眾數(shù)

方差

甲班

8.5

8.5

乙班

8

10

1.6

2)根據(jù)上表中的平均數(shù)、中位數(shù)和方差你認(rèn)為哪班的成績較好?并說明你的理由.

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1)當(dāng)m=1時,

①拋物線的對稱軸為直線______

②拋物線上一點(diǎn)Px軸的距離為4,求點(diǎn)P的坐標(biāo)

③當(dāng)nx時,函數(shù)值y的取值范圍是-y≤2-n,求n的值

2)設(shè)拋物線y=x2-2mx-3m2m-1≤x≤2m+1上最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)為y0,直接寫出y0m之間的函數(shù)關(guān)系式及m的取值范圍.

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(1)之間的函數(shù)表達(dá)式.

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(3)在試銷期間,銷售單價定為多少元時,商場可獲得最大利潤,最大利潤是多少元?

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