【題目】如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,E是AD邊上一動(dòng)點(diǎn),AE=m,將△ABE沿BE折疊后得到△GBE.延長(zhǎng)BG交直線CD于點(diǎn)F.

(1)若∠ABE:∠BFC=n,則n=;
(2)當(dāng)E運(yùn)動(dòng)到AD中點(diǎn)時(shí),求線段GF的長(zhǎng);
(3)若限定F僅在線段CD上(含端點(diǎn))運(yùn)動(dòng),直接寫出m的取值范圍.

【答案】
(1)1:2
(2)解:當(dāng)E運(yùn)動(dòng)到AD中點(diǎn)時(shí),AE=DE=

由折疊得,DE=GE,∠EGF=∠D=90°,BG=AB=1,

根據(jù)DE=GE,EF=EF可得,Rt△EDF≌Rt△EGF(HL),

∴DF=GF,

設(shè)DF=GF=x,則CF=1﹣x,

∵在Rt△BCF中,BC2+FC2=BF2,

∴12+(1﹣x)2=(1+x)2,

解得x= ,

∴線段GF的長(zhǎng)為 ;


(3)解:若限定F僅在線段CD上(含端點(diǎn))運(yùn)動(dòng),則

①如圖,當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)D重合時(shí),AE=EG=GF=m,F(xiàn)E=1﹣m,

在Rt△EFG中,m2+m2=(1﹣x)2,

解得m=﹣ ﹣1(舍去),m= ﹣1;

②如圖,當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí),點(diǎn)E與點(diǎn)D重合,此時(shí)AE=AD=1,

∴m=1.

綜上,m的取值范圍是: ﹣1≤m≤1.


【解析】 解:(1)∵正方形ABCD中,AB∥CD,
∴∠ABF=∠BFC,
由折疊得,∠ABF=2∠ABE,
∴∠BFC=2∠ABE,
∴∠ABE:∠BFC=1:2,
∴n=1:2,
故答案為:1:2;
(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)可得∠ABF=∠BFC,根據(jù)折疊可得∠ABF=2∠ABE,由此得出n的值即可;(2)先根據(jù)折疊的性質(zhì),判定Rt△EDF≌Rt△EGF,再設(shè)DF=GF=x,在Rt△BCF中運(yùn)用勾股定理求得x的值即可;(3)若限定F僅在線段CD上(含端點(diǎn))運(yùn)動(dòng),則分兩種情況進(jìn)行討論:點(diǎn)F與點(diǎn)D重合,點(diǎn)F與點(diǎn)C重合,進(jìn)而求得m的取值范圍.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)求證:BD=AD;

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(2)當(dāng)四邊形PEDF為菱形時(shí),求x的值.

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