【題目】如圖,拋物線y= x2﹣ x﹣9與x軸交于A、B兩點,與y軸交于點C,連接BC、AC.
(1)求AB和OC的長;
(2)點E從點A出發(fā),沿x軸向點B運動(點E與點A、B不重合),過點E作直線l平行BC,交AC于點D.設(shè)AE的長為m,△ADE的面積為s,求s關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量m的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,連接CE,求△CDE面積的最大值;此時,求出以點E為圓心,與BC相切的圓的面積(結(jié)果保留π).
【答案】
(1)解:已知:拋物線y= x2﹣ x﹣9;
當x=0時,y=﹣9,則:C(0,﹣9);
當y=0時, x2﹣ x﹣9=0,得:x1=﹣3,x2=6,則:A(﹣3,0)、B(6,0);
∴AB=9,OC=9
(2)解:∵ED∥BC,
∴△AED∽△ABC,
∴ =( )2,即: =( )2,得:s= m2(0<m<9)
(3)解:解法一:∵S△ACE= AEOC= m×9= m,
∴S△CDE=S△ACE﹣S△ADE= m﹣ m2=﹣ (m﹣ )2+ .
∵0<m<9,
∴當m= 時,S△CDE取得最大值,最大值為 .此時,BE=AB﹣AE=9﹣ = .
記⊙E與BC相切于點M,連接EM,則EM⊥BC,設(shè)⊙E的半徑為r.
在Rt△BOC中,BC= = =3 .
∵∠OBC=∠MBE,∠COB=∠EMB=90°.
∴△BO∽△BME,
∴ = ,
∴ = ,
∴r= = .
∴所求⊙E的面積為:π( )2= π.
解法二:∵S△AEC= AEOC= m×9= m,
∴S△CDE=S△AEC﹣S△ADE= m﹣ m2=﹣ (m﹣ )2+ .
∵0<m<9,
∴當m= 時,S△CDE取得最大值,最大值為 .此時,BE=AB﹣AE=9﹣ = .
∴S△EBC= S△ABC= .
如圖2,記⊙E與BC相切于點M,連接EM,則EM⊥BC,設(shè)⊙E的半徑為r.
在Rt△BOC中,BC= = .
∵S△EBC= BCEM,
∴ × r= ,∴r= = .
∴所求⊙E的面積為:π( )2= π.
【解析】(1)已知拋物線的解析式,當x=0,可確定C點坐標;當y=0時,可確定A、B點的坐標,進而確定AB、OC的長.(2)直線l∥BC,可得出△AED、△ABC相似,它們的面積比等于相似比的平方,由此得到關(guān)于s、m的函數(shù)關(guān)系式;根據(jù)題干條件:點E與點A、B不重合,可確定m的取值范圍.(3)①首先用m列出△AEC的面積表達式,△AEC、△AED的面積差即為△CDE的面積,由此可得關(guān)于S△CDE、m的函數(shù)關(guān)系式,根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)可得到S△CDE的最大面積以及此時m的值;②過E做BC的垂線EM,這個垂線段的長即為與BC相切的⊙E的半徑,可根據(jù)相似三角形△BEF、△BCO得到的相關(guān)比例線段求得該半徑的值,由此得解.
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【題目】小明在暑期社會實踐活動中,以每千克0.8元的價格從批發(fā)市場購進若干千克西瓜到市場上去銷售,在銷售了40千克西瓜之后,余下的每千克降價0.4元,全部售完.銷售金額與售出西瓜的千克數(shù)之間的關(guān)系如圖所示.請你根據(jù)圖象提供的信息完成以下問題:
(1)求降價前銷售金額y(元)與售出西瓜x(千克)之間的函數(shù)關(guān)系式.
(2)小明從批發(fā)市場共購進多少千克西瓜?
(3)小明這次賣瓜賺了多少錢?
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【題目】為了支持國貨,哈市某手機賣場計劃用萬元購進華為品牌手機.從賣場獲知華為品牌種不同型號的手機的進價及售價如下表:
種 | 種 | 種 | |
進價(元/部) | |||
售價(元/部) |
若該手機賣場同時購進兩種不同型號的手機臺,萬元剛好用完.
(1)請您確定該手機的進貨方案,并說明理由;
(2)該賣場老板準備把這批手機銷售的利潤的捐給公益組織,在同時購進兩種不同型號的手機方案中,為了使捐款最多,你選擇哪種方案?
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【題目】如圖,長方形ABCD中,∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°,AD=BC=16,AB=CD=34.點E為射線DC上的一個動點,△ADE與△AD′E關(guān)于直線AE對稱,當△AD′B為直角三角形時,求DE的長.
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【題目】如圖,在直角坐標系中,直線y=kx+1(k≠0)與雙曲線y= (x>0)相交于P(1,m).
(1)求k的值;
(2)若點Q與點P關(guān)于y=x成軸對稱,求點Q的坐標為
(3)若過P、Q兩點的拋物線與y軸的交點為N(0, ),求該拋物線的解析式,并求出拋物線的對稱軸方程.
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【題目】為了倡導綠色出行,某市政府2016年投資了320萬元,首期建成120個公共自行車站點,配置2500輛公共自行車,2017年又投資了104萬元新建了40個公共自行車站點,配置800輛公共自行車.
(1)請問每個站點的造價和公共自行車的單價分別是多少萬元?
(2)若到2020年該市政府將再建造個新公共自行車站點和配置輛公共自行車,并且公共自行車數(shù)量不超過新公共自行車站點數(shù)量的23倍,并且再建造的新公共自行車站點不超過102個,市政府共有幾種選擇方案,哪種方案市政府投入的資金最少?(注:從2016年起至2020年,每個站點的造價和公共自行車的單價每年都保持不變)
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【題目】兩個小組攀登一座450m高的山,第二組的攀登速度是第一組的a倍.
(1)若兩個小組同時開始攀登,當a=1.2時,第二組比第一組早15min到達頂峰,求兩個小組的攀登速度;
(2)元旦假期這兩個小組去攀登另一座hm高的山,第二組比第一組晚出發(fā)30min,結(jié)果兩組同時到達頂峰,問第二組的平均攀登速度比第一組快多少?(用含a,h的代數(shù)式表示)
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【題目】如圖,已知直線AB∥DF,∠D+∠B=180°,
(1)求證:DE∥BC;
(2)如果∠AMD=75°,求∠AGC的度數(shù).
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【題目】圖1是一個三角形,分別連接這個三角形的中點得到圖2;再分別連接圖2中間的小三角形的中點,得到圖3,按此方法繼續(xù)下去,請你根據(jù)每個圖中三角形個數(shù)的規(guī)律,完成下面問題:
在第n個圖形中有個三角形(用含n的式子表示).
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