Question

如圖，在坐標(biāo)系xOy中，△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=60°，A（1，0），B（0，），拋物線的圖象過C點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）平移該拋物線的對(duì)稱軸所在直線l．當(dāng)l移動(dòng)到何處時(shí)，恰好將△ABC的面積分為1：2的兩部分？

Answer 1

解：（1）∵A（1，0），B（0，），

                ∴OA=1，OB=，AB=2，∠OBA=30°。

                ∵△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=60°，

                ∴AC=，BC=4，且BC∥x軸。

如圖所示，過點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，則

∴OD=BC=4，CD=OB=。

∴C（4，）。

∵點(diǎn)C（4，）在拋物線上，

∴，解得：。

∴拋物線的解析式為：。

（2）。

設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，

∵A（1，0），B（0，），

∴，解得。

∴直線AB的解析式為。

設(shè)直線AC的解析式為y=mx+n，

∵A（1，0），C（4，），

∴，解得。

∴直線AC的解析式為。

在△CGH中，由得，即

解得或（大于4，不合題意，舍去）。

∴當(dāng)直線l解析式為或時(shí)，恰好將△ABC的面積分為1：2的兩部分。

【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題，動(dòng)線問題，待定系數(shù)法的應(yīng)用，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，含30度直角三角形的性質(zhì)，分類思想的應(yīng)用。

【分析】（1）根據(jù)含30度直角三角形的性質(zhì)，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；然后利用點(diǎn)C的坐標(biāo)求出拋物線的解析式。

（2）分直線l與AB、AC分別相交兩種情況討論即可。