Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，將拋物線C1：y=x2+3先向右平移1個單位，再向下平移7個單位得到拋物線C2 ． C2的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)）．

（1）求拋物線C2的解析式；
（2）若拋物線C2的對稱軸與x軸交于點C，與拋物線C2交于點D，與拋物線C1交于點E，連結(jié)AD、DB、BE、EA，請證明四邊形ADBE是菱形，并計算它的面積；
（3）若點F為對稱軸DE上任意一點，在拋物線C2上是否存在這樣的點G，使以O、B、F、G四點為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，請求出點G的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵將拋物線C1：y=x2+3先向右平移1個單位，再向下平移7個單位得到拋物線C2，

∴拋物線C1的頂點（0，3）向右平移1個單位，再向下平移7個單位得到（1，﹣4）．

∴拋物線C2的頂點坐標為（1，﹣4）．

∴拋物線C2的解析式為y=（x﹣1）2﹣4，

即y=x2﹣2x﹣3；

（2）

解：證明：由x2﹣2x﹣3=0，

解得：x1=﹣1，x2=3，

∵點A在點B的左側(cè)，

∴A（﹣1，0），B（3，0），AB=4．

∵拋物線C2的對稱軸為x=1，頂點坐標D為（1，﹣4），

∴CD=4．AC=CB=2．

將x=1代入y=x2+3得y=4，

∴E（1，4），CE=CD．

∴四邊形ADBE是平行四邊形．

∵ED⊥AB，

∴四邊形ADBE是菱形．

S菱形ADBE=2× ×AB×CE=2× ×4×4=16．

（3）

解：存在．分OB為平行四邊形的邊和對角線兩種情況：

①當OB為平行四邊形的一邊時，如圖1，

設F（1，y），

∵OB=3，∴G1（﹣2，y）或G2（4，y）．

∵點G在y=x2﹣2x﹣3上，

∴將x=﹣2代入，得y=5；將x=4代入，得y=5．

∴G1（﹣2，5），G2（4，5）．

②當OB為平行四邊形的一對角線時，如圖2，

設F（1，y），OB的中點M，過點G作GH⊥OB于點H，

∵OB=3，OC=1，∴OM= ，CM= ．

∵△CFM≌△HGM（AAS），∴HM=CM= ．∴OH=2．

∴G3（2，﹣y）．

∵點G在y=x2﹣2x﹣3上，

∴將（2，﹣y）代入，得﹣y=﹣3，即y=3．

∴G3（2，﹣3）．

綜上所述，在拋物線C2上是否存在這樣的點G，使以O、B、F、G四點為頂點的四邊形是平行四邊形，點G的坐標為G1（﹣2，5），G2（4，5），G3（2，﹣3）．

【解析】（1）根據(jù)二次函數(shù)平移的規(guī)律：“左加右減，上加下減”，得出平移后解析式即可；（2）首先求出A，B兩點的坐標，再利用頂點坐標得出AC=CB，CE=CD，進而得出四邊形ADBE是平行四邊形以及四邊形ADBE是菱形，再利用三角形面積公式求出即可；（3）利用分OB為平行四邊形的邊和對角線兩種情況：①當OB為平行四邊形的一邊時，②當OB為平行四邊形的一對角線時分別得出即可．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減�。粚ΨQ軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減�。�