Question

如圖，△ABC中，AB=AC，∠BAC=45°，BD⊥AC，垂足為D點(diǎn)，AE平分∠BAC，交BD于F，交BC于E，點(diǎn)G為AB的中點(diǎn)，連接DG，交AE于點(diǎn)H，
（1）求∠ACB的度數(shù)；
（2）HE=

1

2

AF．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),線段垂直平分線的性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)等腰三角形性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出即可；
（2）證△ADF≌△BDC，推出AF=BC，求出HE=BE=CE，即可得出答案．

解答：解：（1）∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC，
∵∠BAC=45°，
∴∠ACB=∠ABC=

1

2

（180°-∠BAC）=

1

2

（180°-45°）=67.5°．
（2）連結(jié)HB，
∵AB=AC，AE平分∠BAC，
∴AE⊥BC，BE=CE，
∴∠CAE+∠C=90°，
∵BD⊥AC，
∴∠CBD+∠C=90°，
∴∠CAE=∠CBD，
∵BD⊥AC，D為垂足，
∴∠DAB+∠DBA=90°，
∵∠DAB=45°，
∴∠DBA=45°，
∴∠DBA=∠DAB，
∴DA=DB，
在Rt△BDC和Rt△ADF中，

∠BDC=∠ADF BD=AD ∠CAE=∠CBD

∴Rt△BDC≌Rt△ADF （ASA），
∴BC=AF，
∵DA=DB，點(diǎn)G為AB的中點(diǎn)，
∴DG垂直平分AB，
∵點(diǎn)H在DG上，
∴HA=HB，
∴∠HAB=∠HBA=

1

2

∠BAC=22.5°，
∴∠BHE=∠HAB+∠HBA=45°，
∴∠HBE=∠ABC-∠ABH=67.5°-22.5°=45°，
∴∠BHE=∠HBE，
∴HE=BE=

1

2

BC，
∵AF=BC，
∴HE=

1

2

AF．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力，難度偏大．