Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，∠ABT=45°，AT=AB．

（1）求證：AT是⊙O的切線；

（2）連接OT交⊙O于點(diǎn)C，連接AC，求tan∠TAC．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求得∠TAB=90°，得出TA⊥AB，從而證得AT是⊙O的切線；

（2）作CD⊥AT于D，設(shè)OA=x，則AT=2x，根據(jù)勾股定理得出OT=x，TC=（﹣1）x，由CD⊥AT，TA⊥AB得出CD∥AB，根據(jù)平行線分線段成比例定理得出==，即==，從而求得CD=（1﹣）x，AD=2x﹣2（1﹣）x=x，然后解正切函數(shù)即可求得．

解：（1）∵∠ABT=45°，AT=AB．

∴∠TAB=90°，

∴TA⊥AB，

∴AT是⊙O的切線；

（2）作CD⊥AT于D，

∵TA⊥AB，TA=AB=2OA，

設(shè)OA=x，則AT=2x，

∴OT=x，

∴TC=（﹣1）x，

∵CD⊥AT，TA⊥AB

∴CD∥AB，

∴==，即==，

∴CD=（1﹣）x，TD=2（1﹣）x，

∴AD=2x﹣2（1﹣）x=x，

∴tan∠TAC===．