【題目】(1)操作發(fā)現(xiàn):如圖①,小明畫了一個(gè)等腰三角形ABC,其中AB=AC,在△ABC的外側(cè)分別以AB,AC為腰作了兩個(gè)等腰直角三角形ABD,ACE,分別取BD,CE,BC的中點(diǎn)M,N,G,連接GM,GN.小明發(fā)現(xiàn)了:線段GM與GN的數(shù)量關(guān)系是__________;位置關(guān)系是__________.
(2)類比思考:
如圖②,小明在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了深入思考.把等腰三角形ABC換為一般的銳角三角形,其中AB>AC,其它條件不變,小明發(fā)現(xiàn)的上述結(jié)論還成立嗎?請(qǐng)說明理由.
(3)深入研究:
如圖③,小明在(2)的基礎(chǔ)上,又作了進(jìn)一步的探究.向△ABC的內(nèi)側(cè)分別作等腰直角三角形ABD,ACE,其它條件不變,試判斷△GMN的形狀,并給與證明.
【答案】(1)MG=NG; MG⊥NG;(2)成立,MG=NG,MG⊥NG;(3)答案見解析
【解析】(1)利用SAS判斷出△ACD≌△AEB,得出CD=BE,∠ADC=∠ABE,進(jìn)而判斷出∠BDC+∠DBH=90°,即:∠BHD=90°,最后用三角形中位線定理即可得出結(jié)論;
(2)同(1)的方法即可得出結(jié)論;
(3)同(1)的方法得出MG=NG,最后利用三角形中位線定理和等量代換即可得出結(jié)論.
(1)連接BE,CD相交于H,如圖1,
∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形,
∴AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE=90°
∴∠CAD=∠BAE,
∴△ACD≌△AEB(SAS),
∴CD=BE,∠ADC=∠ABE,
∴∠BDC+∠DBH=∠BDC+∠ABD+∠ABE=∠BDC+∠ABD+∠ADC=∠ADB+∠ABD=90°,
∴∠BHD=90°,
∴CD⊥BE,
∵點(diǎn)M,G分別是BD,BC的中點(diǎn),
∴MG∥CD且MG=CD,
同理:NG∥BE且NG=BE,
∴MG=NG,MG⊥NG,
(2)連接CD,BE,相交于H,如圖2,
同(1)的方法得,MG=NG,MG⊥NG;
(3)連接EB,DC并延長相交于點(diǎn)H,如圖3.
同(1)的方法得,MG=NG,
同(1)的方法得,△ABE≌△ADC,
∴∠AEB=∠ACD,
∴∠CEH+∠ECH=∠AEH﹣∠AEC+180°﹣∠ACD﹣∠ACE=∠ACD﹣45°+180°﹣∠ACD﹣45°=90°,
∴∠DHE=90°,
同(1)的方法得,MG⊥NG.
∴△GMN是等腰直角三角形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了調(diào)查學(xué)生對(duì)垃圾分類及投放知識(shí)的了解情況,從甲、乙兩校各隨機(jī)抽取40名學(xué)生進(jìn)行了相關(guān)知識(shí)測試,獲得了他們的成績(百分制),并對(duì)數(shù)據(jù)(成績)進(jìn)行了整理、描述和分析.下面給出了部分信息.
a.甲、乙兩校40名學(xué)生成績的頻數(shù)分布統(tǒng)計(jì)表如下:
成績x 學(xué)校 | |||||
甲 | 4 | 11 | 13 | 10 | 2 |
乙 | 6 | 3 | 15 | 14 | 2 |
(說明:成績80分及以上為優(yōu)秀,70~79分為良好,60~69分為合格,60分以下為不合格)
b.甲校成績?cè)?/span>這一組的是:
70 70 70 71 72 73 73 73 74 75 76 77 78
c.甲、乙兩校成績的平均分、中位數(shù)、眾數(shù)如下:
學(xué)校 | 平均分 | 中位數(shù) | 眾數(shù) |
甲 | 74.2 | n | 85 |
乙 | 73.5 | 76 | 84 |
根據(jù)以上信息,回答下列問題:
(1)寫出表中n的值;
(2)在此次測試中,某學(xué)生的成績是74分,在他所屬學(xué)校排在前20名,由表中數(shù)據(jù)可知該學(xué)生是_____________校的學(xué)生(填“甲”或“乙”),理由是__________;
(3)假設(shè)乙校800名學(xué)生都參加此次測試,估計(jì)成績優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某家具商場計(jì)劃購進(jìn)某種餐桌、餐椅進(jìn)行銷售,有關(guān)信息如表:
原進(jìn)價(jià)(元/張) | 零售價(jià)(元/張) | 成套售價(jià)(元/套) | |
餐桌 | a | 270 | 500元 |
餐椅 | a﹣110 | 70 |
已知用600元購進(jìn)的餐桌數(shù)量與用160元購進(jìn)的餐椅數(shù)量相同.
(1)求表中a的值;
(2)若該商場購進(jìn)餐椅的數(shù)量是餐桌數(shù)量的5倍還多20張,且餐桌和餐椅的總數(shù)量不超過200張.該商場計(jì)劃將一半的餐桌成套(一張餐桌和四張餐椅配成一套)銷售,其余餐桌、餐椅以零售方式銷售.請(qǐng)問怎樣進(jìn)貨,才能獲得最大利潤?最大利潤是多少?
(3)由于原材料價(jià)格上漲,每張餐桌和餐椅的進(jìn)價(jià)都上漲了10元,但銷售價(jià)格保持不變.商場購進(jìn)了餐桌和餐椅共200張,應(yīng)怎樣安排成套銷售的銷售量(至少10套以上),使得實(shí)際全部售出后,最大利潤與(2)中相同?請(qǐng)求出進(jìn)貨方案和銷售方案.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖AM∥BN,C是BN上一點(diǎn), BD平分∠ABN且過AC的中點(diǎn)O,交AM于點(diǎn)D,DE⊥BD,交BN于點(diǎn)E.
(1)求證:△ADO≌△CBO.
(2)求證:四邊形ABCD是菱形.
(3)若DE = AB = 2,求菱形ABCD的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,AC⊥AB,BC交⊙O于點(diǎn)D,點(diǎn)E在劣弧BD上,DE的延長線交AB的延長線于點(diǎn)F,連接AE交BD于點(diǎn)G.
(1)求證:∠AED=∠CAD;
(2)若點(diǎn)E是劣弧BD的中點(diǎn),求證:ED2=EGEA;
(3)在(2)的條件下,若BO=BF,DE=2,求EF的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上,王老師出示一道數(shù)學(xué)題目:“在平面直角坐標(biāo)系中,當(dāng)為何值時(shí),拋物線與直線段有唯一公共點(diǎn)或有兩個(gè)公共點(diǎn)?”某學(xué)習(xí)小組經(jīng)探究得到以下四個(gè)結(jié)論:
①當(dāng)時(shí),有唯一公共點(diǎn);
②若為整數(shù),則僅當(dāng)的值為4或5或6或7時(shí),才有唯一公共點(diǎn);
③若為整數(shù),則當(dāng)的值為1或2或3時(shí),有兩個(gè)公共點(diǎn);
④當(dāng)時(shí),有兩個(gè)公共點(diǎn).其中正確的結(jié)論有( )
A.①②④B.①②③C.①③D.①④
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】受國內(nèi)外復(fù)雜多變的經(jīng)濟(jì)環(huán)境影響,去年1至7月,原材料價(jià)格一路攀升,長沙市某服裝廠每件衣服原材料的成本y1(元)與月份x(1≤x≤7,且x為整數(shù))之間的函數(shù)關(guān)系如下表:
月份x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
成本(元/件) | 56 | 58 | 60 | 62 | 64 | 66 | 68 |
8至12月,隨著經(jīng)濟(jì)環(huán)境的好轉(zhuǎn),原材料價(jià)格的漲勢趨緩,每件原材料成本y2(元)與月份x的函數(shù)關(guān)系式為y2=x+62(8≤x≤12,且x為整數(shù)).
(1)請(qǐng)觀察表格中的數(shù)據(jù),用學(xué)過的函數(shù)相關(guān)知識(shí)求y1與x的函數(shù)關(guān)系式.
(2)若去年該衣服每件的出廠價(jià)為100元,生產(chǎn)每件衣服的其他成本為8元,該衣服在1至7月的銷售量p1(萬件)與月份x滿足關(guān)系式p1=0.1x+1.1(1≤x≤7,且x為整數(shù)); 8至12月的銷售量p2(萬件)與月份x滿足關(guān)系式p2=﹣0.1x+3(8≤x≤12,且x為整數(shù)),該廠去年哪個(gè)月利潤最大;并求出最大利潤.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD中,AD>AB,連接AC,將線段AC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到線段AE,平移線段AE得到線段DF(點(diǎn)A與點(diǎn)D對(duì)應(yīng),點(diǎn)E與點(diǎn)F對(duì)應(yīng)),連接BF,分別交直線AD,AC于點(diǎn)G,M,連接EF.
(1) 依題意補(bǔ)全圖形;
(2) 求證:EG⊥AD;
(3) 連接EC,交BF于點(diǎn)N,若AB=2,BC=4,設(shè)MB=a,NF=b,試比較與之間的大小關(guān)系,并證明.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】數(shù)學(xué)活動(dòng)課上,老師和學(xué)生一起去測量學(xué)校升旗臺(tái)上旗桿AB的高度,如圖,老師測得升旗臺(tái)前斜坡FC的坡比為iFC=1:10(即EF:CE=1:10),學(xué)生小明站在離升旗臺(tái)水平距離為35m(即CE=35m)處的C點(diǎn),測得旗桿頂端B的仰角為α,已知tanα=,升旗臺(tái)高AF=1m,小明身高CD=1.6m,請(qǐng)幫小明計(jì)算出旗桿AB的高度.
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