【題目】在等邊△ABC中;
(1)如圖1,P,Q是BC邊上兩點,AP=AQ,∠BAP=20°,求∠AQB的度數(shù);
(2)點P,Q是BC邊上的兩個動點(不與點B,C重合),點P在點Q的左側(cè),且AP=AQ,點Q關(guān)于直線AC的對稱點為M,連接AM,PM.
①依題意將圖2補全;②小明通過觀察、實驗,提出猜想:在點P,Q運動的過程中,始終有PA=PM,小明把這個猜想與同學(xué)們進行交流,通過討論,形成了證明該猜想的幾種想法:
想法1:要證PA=PM,只需證△APM是等邊三角形.
想法2:在BA上取一點N,使得BN=BP,要證PA=PM,只需證△ANP≌△PCM.……
請你參考上面的想法,幫助小明證明PA=PM(一種方法即可).
【答案】
(1)解:∵AP=AQ,∴∠APQ=∠AQP,
又∵△ABC是等邊三角形,∴∠B=60°,
∵∠BAP=20°,∴∠AQB=∠APQ=∠BAP+∠B=80°
(2)解:①如圖.
利用想法1證明:∵AP=AQ,
∴∠APQ=∠AQP,
∴∠APB=∠AQC,
∵△ABC是等邊三角形,
∴∠B=∠C=60°,
∴∠BAP=∠CAQ,
∵點Q關(guān)于直線AC的對稱點為M,
∴AQ=AM,∠QAC=∠MAC,
∴∠MAC=∠BAP,
∴∠BAP+∠PAC=∠MAC+∠CAP=60°,
∴∠PAM=60°,
∵AP=AQ,
∴AP=AM,
∴△APM是等邊三角形,
∴AP=PM.
②利用想法2證明:在AB上取一點N,使BN=BP,連接PN,CM,
∵△ABC是等邊三角形,∴∠B=∠ACB=60°,BA=BC=AC,
∴△BPN是等邊三角形,AN=PC,BP=NP,∠BNP=60°,
∴∠ANP=120°,由軸對稱知CM=CQ,∠ACM=∠ACB=60°,
∴∠PCM=120°,由(1)知,∠APB=∠AQC,∴△ABP≌△ACQ(AAS).
∴BP=CQ,∴NP=CM,∴△ANP≌△PCM(SAS),∴AP=PM.
【解析】(1)根據(jù)等邊對等角得出:∠APQ=∠AQP,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì),及三角形的外角定理得出:∠AQB=∠APQ=∠BAP+∠B=80° ;
(2)①如圖.根據(jù)等邊對等角及鄰補角的定義得出∠APB=∠AQC ,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出∠B=∠C=60°,根據(jù)三角形的內(nèi)角和得出∠BAP=∠CAQ,根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得出AQ=AM,∠QAC=∠MAC,根據(jù)等量代換得出∠MAC=∠BAP ,根據(jù)等式的性質(zhì)得出∠BAP+∠PAC=∠MAC+∠CAP=60° ,即∠PAM=60°,又AQ=AM ,AP=AQ,故AP=AM,根據(jù)有一個角是60的等腰三角形是等邊三角形得出△APM是等邊三角形,從而得出結(jié)論:AP=PM;②利用想法2證明:在AB上取一點N,使BN=BP,連接PN,CM,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出∠B=∠ACB=60°,BA=BC=AC,進一步得出△BPN是等邊三角形,AN=PC,BP=NP,∠BNP=60°,根據(jù)領(lǐng)補角的定義得出∠ANP=120°,由對稱的知識得出CM=CQ,∠ACM=∠ACB=60°,從而判斷出∴△ABP≌△ACQ ,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出BP=CQ ,進而根據(jù)等量代換得出NP=CM,從而判斷出△ANP≌△PCM ,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AP=PM.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列運算正確的是( 。
A.(x+y2)2=x2+y4
B.b6÷b2=b3
C.﹣a2+2a2=a2
D.(2y)2×(﹣y)=﹣2y3
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】學(xué)校召集留守兒童過端午節(jié),桌上擺有甲、乙兩盤粽子,每盤中盛有白粽2個,豆沙粽1個,肉粽1個(粽子外觀完全一樣).
(1)小明從甲盤中任取一個粽子,取到豆沙粽的概率是 ;
(2)小明在甲盤和乙盤中先后各取了一個粽子,請用樹狀圖或列表法求小明恰好取到兩個白粽子的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,∠1=∠2,則不一定能使△ABD≌△ACD的條件是 ( )
A.AB=AC
B.BD=CD
C.∠B=∠C
D.∠BDA=∠CDA
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系中,二次函數(shù)的圖象交坐標軸于A(﹣1,0),B(4,0),C(0,﹣4)三點,點P是直線BC下方拋物線上一動點.
(1)求這個二次函數(shù)的解析式;
(2)是否存在點P,使△POC是以O(shè)C為底邊的等腰三角形?若存在,求出P點坐標;若不存在,請說明理由;
(3)動點P運動到什么位置時,△PBC面積最大,求出此時P點坐標和△PBC的最大面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,,為中點,點在線段上(不與點,重合),將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)后得到扇形,,分別切優(yōu)弧于點,,且點,在異側(cè),連接.
(1)求證:;
(2)當時,求的長(結(jié)果保留);
(3)若的外心在扇形的內(nèi)部,求的取值范圍.
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