Question

【題目】將一把三角尺放在邊長為2的正方形ABCD上(正方形四個內角為90°,四邊都相等),并使它的直角頂點P在對角線AC上滑動,直角的一邊始終經過點B,另一邊與射線DC交于點Q。

探究:(1)當點Q在邊CD 上時,線段PQ 與線段PB之間有怎樣的大小關系?試證明你觀察得到結論；

(2)當點Q在邊CD 上時,如果四邊形 PBCQ 的面積為1，求AP長度；

(3)當點P在線段AC 上滑動時,△PCQ 是否可能成為等腰三角形?如果可能,指出所有能使△PCQ 成為等腰三角形的點Q的位置,并求出相應的AP的長；如果不可能,試說明理由。

Answer 1

【答案】（1）PQ=PB，證明見解析；（2）AP=；（3）當AP=0或2時，△PCQ為等腰三角形，理由見解析.

【解析】

（1）過點P作MN∥BC，分別交AB、CD于點M、N，根據矩形的性質和直角三角形的性質，可證明△QNP≌△PMB，即可得PQ=PB；

（2）設AP=x，結合（1）的結論可分別表示出AM、BM、CQ和PN，可表示出△PBC和△PCQ的面積，從而表示出四邊形PBCQ的面積，解方程即可得AP的長；
（3）△PCQ可以成為等腰三角形．當點Q在DC邊上時，利用勾股定理表示出PQ的長度，再由PQ2=CQ2建立方程求解；當點Q在DC的延長線上時，由PQ=CQ，建立方程求解；當Q與點C重合時，不滿足條件；從而可求得滿足條件的x的值.

（1）PQ=PB，證明如下：

過點P作MN∥BC，分別交AB、CD于點M、N，如下圖所示，

則四邊形AMND和四邊形BCNM都是矩形，△AMP和△CNP都是等腰直角三角形，

∴NP=NC=MB

∵∠BPQ=90°，

∴∠QPN+∠BPM=90,而∠BPM+∠PBM=90°，

∴∠QPN=∠PBM.

在△QNP和△PMB中，

∵∠QPN=∠PBM，NP=MB，∠QNP=∠PMB=90°，

∴△QNP≌△PMB(ASA)，

∴PQ=PB；

(2)由(1)知△QNP≌△PMB，得NQ=MP.

設AP=x,則AM=MP=NQ=DN=,BM=PN=CN=，

∴CQ=CDDQ=

∴S△PBC=BCBM=

S△PCQ=CQPN=

∴S四邊形PBCQ=S△PBC+S△PCQ=，

∵四邊形 PBCQ 的面積為1

∴，解得或

∵點Q在邊CD 上，即CQ，

∴

∴不符合題意，舍去，

故AP/span>的長度為;

(3)△PCQ可能成為等腰三角形，

①當點Q在邊DC上時，

設AP=x，由（2）可得PN=，NQ=，CQ=，

在Rt△PNQ中，PQ2=PN2+NQ2，即PQ2=

由PQ2=CQ2得：，

解得，（舍去）

②當點Q在邊DC的延長線上時，如下圖所示，

設AP=x，則PC=AC-AP=，由（2）可得NQ=, CN=，

∴CQ=NQ-CN=

由PC=CQ得：，

解得x=2；

③當點Q與C點重合，△PCQ不存在，

綜上所述，當AP=0或2時，△PCQ為等腰三角形.