【題目】如圖,已知拋物線經(jīng)過原點(diǎn)O,頂點(diǎn)為A(1,1),且與直線y=x﹣2交于B,C兩點(diǎn).

⑴求拋物線的解析式及點(diǎn)C的坐標(biāo);

⑵求證:△ABC是直角三角形;

⑶若點(diǎn)N為x軸上的一個動點(diǎn),過點(diǎn)N作MN⊥x軸與拋物線交于點(diǎn)M,則是否存在以O(shè),M,N為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似?若存在,請求出點(diǎn)N的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

【答案】(1)y=﹣x2+2x;C(-1,-3);(2)證明過程略;(3)(,0)或(,0)或(﹣1,0)或(5,0).

【解析】

(1)可設(shè)頂點(diǎn)式,把原點(diǎn)坐標(biāo)代入可求得拋物線解析式,聯(lián)立直線與拋物線解析式,可求得C點(diǎn)坐標(biāo);
(2)分別過A、C兩點(diǎn)作x軸的垂線,交x軸于點(diǎn)D、E兩點(diǎn),結(jié)合A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)可求得∠ABO=∠CBO=45°,可證得結(jié)論;
(3)設(shè)出N點(diǎn)坐標(biāo),可表示出M點(diǎn)坐標(biāo),從而可表示出MN、ON的長度,當(dāng)△MON和△ABC相似時,利用三角形相似的性質(zhì)可得,可求得N點(diǎn)的坐標(biāo).

解:(1)∵頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1),
∴設(shè)拋物線解析式為y=a(x-1)2+1,
又拋物線過原點(diǎn),
∴0=a(0-1)2+1,解得a=-1,
∴拋物線解析式為y=-(x-1)2+1,
y=-x2+2x,
聯(lián)立拋物線和直線解析式可得 ,

解得 ,

∴B(2,0),C(-1,-3);
(2)如圖,分別過A、C兩點(diǎn)作x軸的垂線,交x軸于點(diǎn)D、E兩點(diǎn),

AD=OD=BD=1,BE=OB+OE=2+1=3,EC=3,
∴∠ABO=∠CBO=45°,即∠ABC=90°,
∴△ABC是直角三角形;
(3)假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)N,設(shè)N(x,0),則M(x,-x2+2x),
∴ON=|x|,MN=|-x2+2x|,
由(2)在Rt△ABDRt△CEB中,可分別求得AB= ,BC=3,
∵M(jìn)N⊥x軸于點(diǎn)N
∴∠ABC=∠MNO=90°,
∴當(dāng)△ABC和△MNO相似時有,

當(dāng),則有 ,即|x||-x+2|=|x|,

∵當(dāng)x=0M、O、N不能構(gòu)成三角形,

∴x≠0,

∴|-x+2|=,即-x+2=± ,解得x= x=

此時N點(diǎn)坐標(biāo)為(,0)或(,0);

②當(dāng)時,則有,即|x||-x+2|=3|x|,

∴|-x+2|=3,即-x+2=±3,解得x=5x=-1,
此時N點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,0)或(5,0),

綜上可知存在滿足條件的N點(diǎn),其坐標(biāo)為( ,0)或( ,0)或(-1,0)或(5,0).

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B. 3a+c=0

C. 4a﹣2b+c<0

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