【題目】對于平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)和圖形,給出如下定義:若圖形上存在兩個點(diǎn),使得是邊長為2的等邊三角形,則稱點(diǎn)是圖形的一個“和諧點(diǎn)”.
已知直線與軸交于點(diǎn),與軸交于點(diǎn)的半徑為.
(1)若,在點(diǎn)中,直線的和諧點(diǎn)是___________;
(2)若上恰好存在2個直線的和諧點(diǎn),求的取值范圍;
(3)若,線段上存在的和諧點(diǎn),直接寫出的取值范圍.
【答案】(1);(2);(3)
【解析】
(1)結(jié)合定義,畫圖可知,當(dāng)直線上的兩點(diǎn)O,S與或S,T與構(gòu)成等邊三角形,直線的和諧點(diǎn)是;
(2)由等邊三角形的特征及直線,結(jié)合圖形及對稱性數(shù)形結(jié)合即可求解;
(3)結(jié)合圖形構(gòu)造等邊三角形知:分或,而為定值,故關(guān)鍵求的取值范圍即可,進(jìn)一步畫圖可知當(dāng)時,最小,當(dāng)的和諧點(diǎn)恰好是點(diǎn)(即點(diǎn)與點(diǎn)重合)時,最大,分別計算即可得到的取值范圍
解:(1)直線的和諧點(diǎn)是; 如圖所示:
(2)如圖,設(shè)在直線上,點(diǎn)在上,是邊長為2的等邊三角形,
,∴當(dāng)直線位于時,上只有1個點(diǎn)是直線的和諧點(diǎn),
當(dāng)直線位于時,上有3個點(diǎn)都是直線的和諧點(diǎn),
∴滿足條件的直線應(yīng)位于直線和之間.
設(shè)過點(diǎn)且與相切的直線為,直線分別與軸,軸交于點(diǎn).連接,則.取中點(diǎn),連接,則,且三點(diǎn)共線,.
∵直線與軸交于點(diǎn),與軸交于點(diǎn),
,
,
.
∴在和中,
,
,
,
由對稱性得,即,
的取值范圍是.
(3)的取值范圍是.
詳解如下:
.
如圖,設(shè)在上,是上的點(diǎn),是邊長為2的等邊三角形,
設(shè)的中點(diǎn)為,則三點(diǎn)共線,
,
又(圖1),或(圖2),而為定值,
∴只需考慮的取值范圍即可.
如圖3,當(dāng)時,最小,此時的半徑最。
,
.
又,
.
∴在中,,
.
如圖4,當(dāng)的和諧點(diǎn)恰好是點(diǎn)(即點(diǎn)與點(diǎn)重合)時,最大,此時的半徑最大,
,
,
又,
.
綜上,的取值范圍是.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,拋物線:與直線l:交于x軸上的一點(diǎn)A,和另一點(diǎn)
求拋物線的解析式;
點(diǎn)P是拋物線上的一個動點(diǎn)點(diǎn)P在A,B兩點(diǎn)之間,但不包括A,B兩點(diǎn)于點(diǎn)M,軸交AB于點(diǎn)N,求MN的最大值;
如圖2,將拋物線繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后,再作適當(dāng)平移得到拋物線,已知拋物線的頂點(diǎn)E在第一象限的拋物線上,且拋持線與拋物線交于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作軸交拋物線于點(diǎn)F,過點(diǎn)E作軸交拋物線于點(diǎn)G,是否存在這樣的拋物線,使得四邊形DFEG為菱形?若存在,請求E點(diǎn)的橫坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,過一點(diǎn)分別作坐標(biāo)軸的垂線,若與坐標(biāo)軸圍成的矩形的周長與面積相等,則稱這個點(diǎn)為“美好點(diǎn)”,如圖,過點(diǎn)P分別作x軸,y軸的垂線,與坐標(biāo)軸圍成的矩形OAPB的周長與面積相等,則P為“美好點(diǎn)”.
(1)在點(diǎn)M(2,2),N(4,4),Q(﹣6,3)中,是“美好點(diǎn)”的有 ;
(2)若“美好點(diǎn)”P(a,﹣3)在直線y=x+b(b為常數(shù))上,求a和b的值;
(3)若“美好點(diǎn)”P恰好在拋物線y=x2第一象限的圖象上,在x軸上是否存在一點(diǎn)Q使得△POQ為直角三角形?若存在,請求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某年級共有 150 名女生,為了解該年級女生實(shí)心球成績(單位:米)和一分鐘仰臥起坐成績(單位:個)的情況,從中隨機(jī)抽取 30 名女生進(jìn)行測試,獲得了她們的相關(guān)成績,并對數(shù)據(jù)進(jìn)行了整理,下面給出了部分信息.
a.實(shí)心球成績的頻數(shù)分布如表所示:
b.實(shí)心球成績在 7.0≤x<7.4 這一組的是:7.0,7.0,7.0,7.1,7.1,7.1,7.2,7.2,7.3,7.3
c.一分鐘仰臥起坐成績?nèi)鐖D所示:
根據(jù)以上信息,回答下列問題:
(1)①表中 m 的值為 ;②一分鐘仰臥起坐成績的中位數(shù)為 ;
(2)若實(shí)心球成績達(dá)到 7.2 米及以上時,成績記為優(yōu)秀.
①請估計全年級女生實(shí)心球成績達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù);
②該年級某班體育委員將本班在這次抽樣測試中被抽取的 8 名女生的兩項成績的數(shù)據(jù)抄錄如表所示:
其中有 3 名女生的一分鐘仰臥起坐成績未抄錄完整,但老師說這 8 名女生中恰好有4 人兩項測試成績都達(dá)到了優(yōu)秀,于是體育委員推測女生 E 的一分鐘仰臥起坐成績達(dá)到了優(yōu)秀,你是否同意體育委員的說法? (填“是”或“否”).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線與軸交于點(diǎn),與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)和點(diǎn).
(1)求的值及點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)若點(diǎn)是軸上一點(diǎn),且,直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB為⊙O的直徑,AC、DC為弦,∠ACD=60°,P為AB延長線上的點(diǎn),∠APD=30°.
(1)求證:DP是⊙O的切線;
(2)若⊙O的半徑為3cm,求圖中陰影部分的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某市在黨中央實(shí)施“精準(zhǔn)扶貧”政策的號召下,大力開展科技扶貧工作,幫助農(nóng)民組建農(nóng)副產(chǎn)品銷售公司,某農(nóng)副產(chǎn)品的年產(chǎn)量不超過100萬件,該產(chǎn)品的生產(chǎn)費(fèi)用y(萬元)與年產(chǎn)量x(萬件)之間的函數(shù)圖象是頂點(diǎn)為原點(diǎn)的拋物線的一部分(如圖①所示);該產(chǎn)品的銷售單價z(元/件)與年銷售量x(萬件)之間的函數(shù)圖象是如圖②所示的一條線段,生產(chǎn)出的產(chǎn)品都能在當(dāng)年銷售完,達(dá)到產(chǎn)銷平衡,所獲毛利潤為w萬元.(毛利潤=銷售額﹣生產(chǎn)費(fèi)用)
(1)請直接寫出y與x以及z與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)求w與x之間的函數(shù)關(guān)系式;并求年產(chǎn)量多少萬件時,所獲毛利潤最大?最大毛利潤是多少?
(3)由于受資金的影響,今年投入生產(chǎn)的費(fèi)用不會超過360萬元,今年最多可獲得多少萬元的毛利潤?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】今年的新冠疫情爆發(fā),使很多農(nóng)作物積壓沒法正常銷售。為解決農(nóng)民的困難,我市某食品加工公司主動分兩次采購了一批竹筍, 第一次花費(fèi)40萬元,第二次花費(fèi)60萬元。已知第一次采購時每百千克竹筍的價格比去年的平均價格上漲了500元,第二次采購時每百千克竹筍的價格比去年的平均價格下降了500元,第二次的采購數(shù)量是第一次采購數(shù)量的兩倍.
(1)試問去年每百千克竹筍的平均價格是多少元;
(2)該公司可將竹筍加工成筍干或罐頭(濕筍),若單獨(dú)加工成筍干,每天可加工8百千克竹筍,每百千克竹筍獲利1000元; 若單獨(dú)加工成罐頭,每天可加工12百千克竹筍,每百千克竹筍獲利600元,由于市場需要,所有采購的竹筍必需在30天內(nèi)加工完畢,且加工筍干的竹筍數(shù)量不少于加工罐頭的竹筍數(shù)量的一半,為獲得最大利潤,應(yīng)將多少百千克竹筍加工成筍干?最大利潤為多少.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】教育未來指數(shù)是為了評估教育系統(tǒng)在培養(yǎng)學(xué)生如何應(yīng)對快速多變的未來社會方面所呈現(xiàn)的效果.現(xiàn)對教育未來指數(shù)得分前35名的國家和地區(qū)的有關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行收集、整理、描述和分析后,給出了部分信息.
a.教育未來指數(shù)得分的頻數(shù)分布直方圖(數(shù)據(jù)分成7組:,,,,,,);
b.教育未來指數(shù)得分在這一組的是:61.2 62.8 64.6 65.2 67.2 67.3 67.5 68.5
c.35個國家和地區(qū)的人均國內(nèi)生產(chǎn)總值和教育未來指數(shù)得分情況統(tǒng)計圖如下:
d.中國和中國香港的教育未來指數(shù)得分分別為32.9和68.5.
(以上數(shù)據(jù)來源于《國際統(tǒng)計年鑒(2018)》和國際在線網(wǎng))
根據(jù)以上信息,回答下列問題:
(1)中國香港的教育未來指數(shù)得分排名世界第______;
(2)在35個國家和地區(qū)的人均國內(nèi)生產(chǎn)總值和教育未來指數(shù)得分情況統(tǒng)計圖中,包括中國香港在內(nèi)的少數(shù)幾個國家和地區(qū)所對應(yīng)的點(diǎn)位于虛線l的上方,請在圖中用“○”畫出代表中國香港的點(diǎn);
(3)在教育未來指數(shù)得分比中國高的國家和地區(qū)中,人均國內(nèi)生產(chǎn)總值的最大值約為_____萬美元;(結(jié)果保留一位小數(shù))
(4)下列推斷合理的是__________.(只填序號即可)
①相較于點(diǎn)所代表的國家和地區(qū),中國的教育未來指數(shù)得分還有一定差距,“十三五”規(guī)劃提出“教育優(yōu)先發(fā)展,教育強(qiáng)則國家強(qiáng)”的任務(wù),進(jìn)一步提高國家教育水平;
②相較于點(diǎn)所代表的國家和地區(qū),中國的人均國內(nèi)生產(chǎn)總值還有一定差距,中國提出“決勝全面建成小康社會”的奮斗目標(biāo),進(jìn)一步提高人均國內(nèi)生產(chǎn)總值.
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