Question

【題目】對于平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)和圖形，給出如下定義：若圖形上存在兩個(gè)點(diǎn)，使得是邊長為2的等邊三角形，則稱點(diǎn)是圖形的一個(gè)“和諧點(diǎn)”．

已知直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)的半徑為．

（1）若，在點(diǎn)中，直線的和諧點(diǎn)是___________；

（2）若上恰好存在2個(gè)直線的和諧點(diǎn)，求的取值范圍；

（3）若，線段上存在的和諧點(diǎn)，直接寫出的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）結(jié)合定義，畫圖可知，當(dāng)直線上的兩點(diǎn)O，S與或S，T與構(gòu)成等邊三角形，直線的和諧點(diǎn)是；

（2）由等邊三角形的特征及直線，結(jié)合圖形及對稱性數(shù)形結(jié)合即可求解；

（3）結(jié)合圖形構(gòu)造等邊三角形知：分或，而為定值，故關(guān)鍵求的取值范圍即可，進(jìn)一步畫圖可知當(dāng)時(shí)，最小，當(dāng)的和諧點(diǎn)恰好是點(diǎn)（即點(diǎn)與點(diǎn)重合）時(shí)，最大，分別計(jì)算即可得到的取值范圍

解：（1）直線的和諧點(diǎn)是； 如圖所示：

（2）如圖，設(shè)在直線上，點(diǎn)在上，是邊長為2的等邊三角形，

，∴當(dāng)直線位于時(shí)，上只有1個(gè)點(diǎn)是直線的和諧點(diǎn)，

當(dāng)直線位于時(shí)，上有3個(gè)點(diǎn)都是直線的和諧點(diǎn)，

∴滿足條件的直線應(yīng)位于直線和之間．

設(shè)過點(diǎn)且與相切的直線為，直線分別與軸，軸交于點(diǎn)．連接，則．取中點(diǎn)，連接，則，且三點(diǎn)共線，．

∵直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，

，

，

．

∴在和中，

，

，

，

由對稱性得，即，

的取值范圍是．

（3）的取值范圍是．

詳解如下：

．

如圖，設(shè)在上，是上的點(diǎn)，是邊長為2的等邊三角形，

設(shè)的中點(diǎn)為，則三點(diǎn)共線，

，

又（圖1），或（圖2），而為定值，

∴只需考慮的取值范圍即可．

如圖3，當(dāng)時(shí)，最小，此時(shí)的半徑最小．

，

．

又，

．

∴在中，，

．

如圖4，當(dāng)的和諧點(diǎn)恰好是點(diǎn)（即點(diǎn)與點(diǎn)重合）時(shí)，最大，此時(shí)的半徑最大，

，

，

又，

．

綜上，的取值范圍是．