【題目】如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸為直線,且拋物線經(jīng)過B(1,0),C(0,3)兩點,與x軸交于點A.
(1)求拋物線的解析式;
(2)如圖1,在拋物線的對稱軸直線上找一點M,使點M到點B的距離與到點C的距離之和最小,求出點M的坐標;
(3)如圖2,點Q為直線AC上方拋物線上一點,若∠CBQ=45°,請求出點Q坐標.
【答案】(1);(2)當點到點的距離與到點的距離之和最小時的坐標為;(3)點.
【解析】
(1)根據(jù)對稱軸方程可得,把B、C坐標代入列方程組求出a、b、c的值即可得答案;
(2)根據(jù)二次函數(shù)的對稱性可得A點坐標,設(shè)直線AC與對稱軸的交點為M,可得MB=MA,即可得出MB+MC=MC+MA=AC,為MB+MC的最小值,根據(jù)A、C坐標,利用待定系數(shù)法可求出直線AC的解析式,把x=-1代入求出y值,即可得點M的坐標.
(3)設(shè)直線BQ交y軸于點H,過點作于點,利用勾股定理可求出BC的長,根據(jù)∠CBQ=45°可得HM=BM,利用∠OCB的正切函數(shù)可得CM=3HM,即可求出CM、HM的長,利用勾股定理可求出CH的長,即可得H點坐標,利用待定系數(shù)法可得直線BH的解析式,聯(lián)立直線BQ與拋物線的解析式求出交點坐標即可得點Q坐標.
(1)∵拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸為直線,
∴,
∵拋物線經(jīng)過B(1,0),C(0,3)兩點,
∴,
解得:,
∴拋物線解析式為.
(2)設(shè)直線AC的解析式為y=mx+n,
∵拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸為直線,B(0,0),
∴點A坐標為(-3,0),
∵C(0,3),
∴,
解得:,
∴直線解析式為,
設(shè)直線與對稱軸的交點為,
∵點A與點B關(guān)于對稱軸x=-1對稱,
∴MA=MB,
∴MB+MC=MA+MC=AC,
∴此時的值最小,
當時,y=-1+3=2,
∴當點到點的距離與到點的距離之和最小時的坐標為.
(3)如圖,設(shè)直線交軸于點,過點作于點,
∵B(1,0),C(0,3),
∴OB=1,OC=3,BC==,
∴,
∵∠CBQ=45°,
∴△BHM是等腰直角三角形,
∴HM=BM,
∵tan∠OCB=,
∴CM=3HM,
∴BC=MB+CM=4HM=,
解得:,
∴CM=,
∴CH==,
∴OH=OC-CH=3-=,
∴,
設(shè)直線BH的解析式為:y=kx+b,
∴,
解得:,
∴的表達式為:,
聯(lián)立直線BH與拋物線解析式得,
解得:(舍去)或x=,
當x=時,y==,
∴點Q坐標為(,).
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】拋物線y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c為常數(shù))上部分點的橫坐標x,縱坐標y的對應(yīng)值如下表:
x | …… | ﹣3 | ﹣2 | ﹣1 | 0 | 1 | 2 | …… |
y | …… | 4 | 4 | m | 0 | …… |
則下列結(jié)論中:①拋物線的對稱軸為直線x=﹣1;②m=;③當﹣4<x<2時,y<0;④方程ax2+bx+c﹣4=0的兩根分別是x1=﹣2,x2=0,其中正確的個數(shù)有( 。
A.1個B.2個C.3個D.4個
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸交于A,B兩點,與y軸交于C點,且對稱軸為x=1,點B坐標為(﹣1,0),則下面的四個結(jié)論,其中正確的個數(shù)為( )
①2a+b=0②4a﹣2b+c<0③ac>0④當y>0時,﹣1<x<4
A.1個B.2個C.3個D.4個
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為增強中學生體質(zhì),籃球運球已列為銅陵市體育中考選考項目,某校學生不僅練習運球,還練習了投籃,下表是一名同學在罰球線上投籃的試驗結(jié)果,根據(jù)表中數(shù)據(jù),回答問題.
投籃次數(shù)(n) | 50 | 100 | 150 | 200 | 250 | 300 | 500 |
投中次數(shù)(m) | 28 | 60 | 78 | 104 | 124 | 153 | 252 |
(1)估計這名同學投籃一次,投中的概率約是多少?(精確到0.1)
(2)根據(jù)此概率,估計這名同學投籃622次,投中的次數(shù)約是多少?
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【題目】“2019大洋灣鹽城馬拉松”的賽事共有三項:A,“全程馬拉松”、B,“半程馬拉松”、C.“迷你健身跑”,小明和小剛參與了該項賽事的志愿者服務(wù)工作,組委會隨機將志愿者分配到三個項目組.
(1)小明被分配到“迷你健身跑”項目組的概率為 ;
(2)求小明和小剛被分配到不同項目組的概率.
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【題目】如圖,某數(shù)學興趣小組為測量一棵古樹BH和教學樓的高,先在點處用高1.5米的測角儀測得古樹頂端點的仰角為,此時教學樓頂端點恰好在視線上,再向前走7米到達點處,又測得教學樓頂端點的仰角為,點、、點在同一水平線上.
(1)計算古樹的高度;
(2)計算教學樓的高度.(結(jié)果精確到0.1米,參考數(shù)據(jù):,).
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【題目】某商場計劃購進A,B兩種型號的手機,已知每部A型號手機的進價比每部B型號手機進價多500元,若商場用50000元共購進A型號手機10部,B型號手機20部,求A、B兩種型號的手機每部進價各是多少元?
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【題目】菲爾茲獎是國際上享有崇高聲譽的一個數(shù)學獎項,每4年評選一次,頒給有卓越貢獻的年輕數(shù)學家,被視為數(shù)學界的諾貝爾獎.下面的數(shù)據(jù)是從1936年至2014年45歲以下菲爾茲獎得住獲獎時的年齡(歲):39 35 33 39 27 33 35 31 31 37 32 38 36 31 39 32 38 37 34 34 38 32 35 36 33 32 35 36 37 39 38 40 38 37 39 38 34 33 40 36 36 37 31 38 38 37 35 40 39 37
請根據(jù)以上數(shù)據(jù),解答以下問題:
(1)小彬按“組距為5”列出了如下的頻數(shù)分布表,每組數(shù)據(jù)含最小值不含最大值,請將表中空缺的部分補充完整,并補全頻數(shù)分布直方圖:
(2)在(1)的基礎(chǔ)上,小彬又畫出了如圖所示的扇形統(tǒng)計圖,圖中B組所對的圓心角的度數(shù)為 ;
(3)根據(jù)(1)中的頻數(shù)分布直方圖試描述這50位菲爾茲獎得主獲獎時的年齡的分布特征.
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