Question

【題目】如圖一，已知拋物線y＝ax2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，3）、B（1，0），其對(duì)稱(chēng)軸為直線l：x＝2，過(guò)點(diǎn)A作AC∥x軸交拋物線于點(diǎn)C，∠AOB的平分線交線段AC于點(diǎn)E，點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)其橫坐標(biāo)為m．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若動(dòng)點(diǎn)P在直線OE下方的拋物線上，連結(jié)PE、PO，當(dāng)m為何值時(shí)，四邊形AOPE面積最大，并求出其最大值；在四邊形AOPE面積最大時(shí)，在線段OE上取點(diǎn)M，在y軸上取點(diǎn)N，當(dāng)PM+MN+AN取最小值時(shí)，求出此時(shí)N點(diǎn)的坐標(biāo)．

（3）如圖二，F是拋物線的對(duì)稱(chēng)軸l上的一點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使△POF成為以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣4x+3；（2）N（0，）；（3）存在，理由：見(jiàn)解析.

【解析】

（1）設(shè)拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為D，由對(duì)稱(chēng)性得：D（3，0），設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x-1）（x-3），把A（0，3）代入得：3=3a，a=1，即可求解；

（2）過(guò)點(diǎn)A作傾斜角為45°的直線AH，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AH于點(diǎn)H，交OE于點(diǎn)M、交y軸于點(diǎn)N，則點(diǎn)N為所求，即可求解；

（3）分P在對(duì)稱(chēng)軸的左邊，且在x軸下方、P在對(duì)稱(chēng)軸的左邊，且在x軸上方、P在對(duì)稱(chēng)軸的右邊，且在x軸下方、P在對(duì)稱(chēng)軸的右邊，且在x軸上方四種情況，分別求解即可．

解：（1）設(shè)拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為D，

由對(duì)稱(chēng)性得：D（3，0），

設(shè)拋物線的解析式為：y＝a（x﹣1）（x﹣3），

把A（0，3）代入得：3＝3a，a＝1，

∴拋物線的解析式；y＝x2﹣4x+3；

（2）如圖1，∵△AOE的面積是定值，所以當(dāng)△OEP面積最大時(shí)，四邊形AOPE面積最大，

設(shè)P（m，m2﹣4m+3），

∵OE平分∠AOB，∠AOB＝90°，∴∠AOE＝45°，∴△AOE是等腰直角三角形，

∴AE＝OA＝3，∴E（3，3），則OE的解析式為：y＝x，

過(guò)P作PG∥y軸，交OE于點(diǎn)G，∴G（m，m），

∴PG＝m﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+5m﹣3，

∴S四邊形AOPE＝S△AOE+S△POE＝×3×3+PGAE＝+×3×（﹣m2+5m﹣3）＝﹣m2+，

∵﹣＜0，

∴當(dāng)m＝時(shí)，S有最大值，此時(shí)點(diǎn)P（，﹣）；

過(guò)點(diǎn)A作傾斜角為45°的直線AH，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AH于點(diǎn)H，交OE于點(diǎn)M、交y軸于點(diǎn)N，則點(diǎn)N為所求，

則NH＝AN，

此時(shí)PM+MN+AN＝PM+MN+HN＝PH為最小值，

設(shè)直線PH的表達(dá)式為：y＝﹣x+b，將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入上式并解得：

直線PH的表達(dá)式為：y＝﹣x+，

故點(diǎn)N（0，）；

（3）存在，理由：

①當(dāng)P在對(duì)稱(chēng)軸的左邊，且在x軸下方時(shí)，如圖2，過(guò)P作MN⊥y軸，交y軸于M，交l于N，

∵△OPF是等腰直角三角形，且OP＝PF，

∴△OMP≌△PNF（AAS），

∴OM＝PN，

∵P（m，m2﹣4m+3），則﹣m2+4m﹣3＝2﹣m，

解得：m＝（舍去）或

∴P的坐標(biāo)為（，）；

②當(dāng)P在對(duì)稱(chēng)軸的左邊，且在x軸上方時(shí)，如圖3，

同理得：2﹣m＝m2﹣4m+3，解得：m＝或（舍去），

故點(diǎn)P（，）；

③當(dāng)P在對(duì)稱(chēng)軸的右邊，且在x軸下方時(shí)，

如圖3，過(guò)P作MN⊥x軸于N，過(guò)F作FM⊥MN于M，

同理得△ONP≌△PMF，

∴PN＝FM，

則﹣m2+4m﹣3＝m﹣2，

解得：m＝或（舍去），

P的坐標(biāo)為（，）；

④當(dāng)P在對(duì)稱(chēng)軸的右邊，且在x軸上方時(shí)，

同理得m2﹣4m+3＝m﹣2，

解得：m＝或（舍去），

點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（，）；

綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（，）或（，）或（，）或（，）．