【題目】如圖,已知拋物線與軸分別交于原點(diǎn)和點(diǎn),與對(duì)稱軸交于點(diǎn).矩形的邊在軸正半軸上,且,邊,與拋物線分別交于點(diǎn),.當(dāng)矩形沿軸正方向平移,點(diǎn),位于對(duì)稱軸的同側(cè)時(shí),連接,此時(shí),四邊形的面積記為;點(diǎn),位于對(duì)稱軸的兩側(cè)時(shí),連接,,此時(shí)五邊形的面積記為.將點(diǎn)與點(diǎn)重合的位置作為矩形平移的起點(diǎn),設(shè)矩形平移的長(zhǎng)度為.
(1)求出這條拋物線的表達(dá)式;
(2)當(dāng)時(shí),求的值;
(3)當(dāng)矩形沿著軸的正方向平移時(shí),求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式,并求出為何值時(shí),有最大值,最大值是多少?
【答案】(1)y=-x2+2x.(2).(3)S=-t2+t-,當(dāng)t=時(shí),S有最大值,最大值是.
【解析】分析: (1)根據(jù)點(diǎn)E、F的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的表達(dá)式;
(2)找出當(dāng)t=0時(shí),點(diǎn)B、N的坐標(biāo),進(jìn)而可得出OB、BN的長(zhǎng)度,再根據(jù)三角形的面積公式可求出S△OBN的值;
(3)分0<t≤4和4<t≤5兩種情況考慮:①當(dāng)0<t≤4時(shí)(圖1),找出點(diǎn)A、B、M、N的坐標(biāo),進(jìn)而可得出AM、BN的長(zhǎng)度,利用梯形的面積公式即可找出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式,再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出S的最大值;②當(dāng)4<t≤5時(shí),找出點(diǎn)A、B、M、N的坐標(biāo),進(jìn)而可得出AM、BN的長(zhǎng)度,將五邊形分成兩個(gè)梯形,利用梯形的面積公式即可找出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式,再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出S的最大值.將①②中的S的最大值進(jìn)行比較,即可得出結(jié)論.
詳解:
(1)將E(5,5)、F(10,0)代入y=ax2+bx,
,解得:,
∴拋物線的表達(dá)式為y=-x2+2x.
(2)當(dāng)t=0時(shí),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,0),點(diǎn)N的坐標(biāo)為(1,),
∴BN=,OB=1,
∴S△OBN=BNOB=.
(3)①當(dāng)0<t≤4時(shí)(圖1),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(t,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(t+1,0),
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(t,-t2+2t),點(diǎn)N的坐標(biāo)為(t+1,-(t+1)2+2(t+1)),
∴AM=-t2+2t,BN=-(t+1)2+2(t+1),
∴S=(AM+BN)AB=×1×[-t2+2t-(t+1)2+2(t+1)],
=-t2+t+,
=-(t-)2+,
∵-<0,
∴當(dāng)t=4時(shí),S取最大值,最大值為;
②當(dāng)4<t≤5時(shí)(圖2),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(t,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(t+1,0),
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(t,-t2+2t),點(diǎn)N的坐標(biāo)為(t+1,-(t+1)2+2(t+1)),
∴AM=-t2+2t,BN=-(t+1)2+2(t+1),
∴S=(5-t)(-t2+2t+5)+(t-4)[5-(t+1)2+2(t+1)],
=(t3-3t2+5t+25)+(-t3+t2+t-),
=-t2+t-,
=-(t-)2+,
∵-<0,
∴當(dāng)t=時(shí),S取最大值,最大值為.
∵=<,
∴當(dāng)t=時(shí),S有最大值,最大值是.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,將三角形ABC水平向右平移得到三角形DEF,A,D兩點(diǎn)的距離為1,CE=2,∠A=70°.根據(jù)題意完成下列各題:
(1)AC和DF的數(shù)量關(guān)系為 ;AC和DF的位置關(guān)系為 ;
(2)∠1= 度;
(3)BF= .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】傳統(tǒng)的端午節(jié)即將來(lái)臨,某企業(yè)接到一批粽子生產(chǎn)任務(wù),約定這批粽子的出廠價(jià)為每只4元,按要求在20天內(nèi)完成.為了按時(shí)完成任務(wù),該企業(yè)招收了新工人,設(shè)新工人李明第x天生產(chǎn)的粽子數(shù)量為y只,y與x滿足如下關(guān)系:
y=
(1)李明第幾天生產(chǎn)的粽子數(shù)量為280只?
(2)如圖,設(shè)第x天生產(chǎn)的每只粽子的成本是p元,p與x之間的關(guān)系可用圖中的函數(shù)圖象來(lái)刻畫(huà).若李明第x天創(chuàng)造的利潤(rùn)為w元,求w與x之間的函數(shù)表達(dá)式,并求出第幾天的利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)是多少元?(利潤(rùn)=出廠價(jià)-成本)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,給出五個(gè)等量關(guān)系:①AD=BC;②AC=BD;③CE=DE;④∠D=∠C;⑤∠DAB=∠CBA.
請(qǐng)你以其中兩個(gè)為條件,另外三個(gè)中的一個(gè)為結(jié)論,推出一個(gè)正確的結(jié)論(只需寫(xiě)出一種情況),并加以證明.
已知:
求證:
證明:
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知反比例函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱,,是函數(shù)圖象上的兩點(diǎn),連接,點(diǎn)是函數(shù)圖象上的一點(diǎn),連接,.
(1)求,的值;
(2)求所在直線的表達(dá)式;
(3)求的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】閱讀材料:用分離系數(shù)法進(jìn)行整式的加減運(yùn)算.
我們已經(jīng)學(xué)過(guò)整式的加減,而我們可以列豎式進(jìn)行整式的加減運(yùn)算,只要將參加運(yùn)算的整式連同字母進(jìn)行降冪排列,凡缺項(xiàng)則留出空位或添零,然后讓常數(shù)項(xiàng)對(duì)齊(即右對(duì)齊)即可.例如,計(jì)算(x3﹣2x2﹣5)﹣(x﹣2x2﹣1)時(shí),我們可以用下列豎式計(jì)算:
豎式:
(x3﹣2x2+5)﹣(x﹣2x2﹣1)=x3﹣x﹣4
這種方法叫做分離系數(shù)法.用分離系數(shù)法計(jì)算:
(1)(2x2+4x﹣3)+(5﹣4x+x2);
(2)(3y3﹣5y2﹣6)﹣(y﹣2+3y3).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,某校數(shù)學(xué)興趣小組利用自制的直角三角形硬紙板DEF來(lái)測(cè)量操場(chǎng)旗桿AB的高度,他們通過(guò)調(diào)整測(cè)量位置,使斜邊DF與地面保持平行,并使邊DE與旗桿頂點(diǎn)A在同一直線上,已知DE=0.5米,EF=0.25米,目測(cè)點(diǎn)D到地面的距離DG=1.5米,到旗桿的水平距離DC=20米,求旗桿的高度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線y=x+2與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)C,拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn),與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)B.
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)點(diǎn)D為直線AC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn);
①連接BC、CD,設(shè)直線BD交線段AC于點(diǎn)E,△CDE的面積為S1, △BCE的面積為S2, 求的最大值;
②過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC,垂足為點(diǎn)F,連接CD,是否存在點(diǎn)D,使得△CDF中的某個(gè)角恰好等于∠BAC的2倍?若存在,求點(diǎn)D的橫坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知△ABC中,邊AB、AC的垂直平分線分別交BC于E、F,若∠EAF=90°,AF=3,AE=4.
(1)求邊BC的長(zhǎng);(2)求出∠BAC的度數(shù).
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