【題目】如圖,在平面直角坐標系中,Rt△ABC的斜邊AB在y軸上,邊AC與x軸交于點D,經過A,D兩點的圓的圓心F恰好在y軸上,⊙F與邊BC相切于點E,與x軸交于點M,與y軸相交于另一點G,連接AE.
(1)求證:AE平分∠BAC;
(2)若點A,D的坐標分別為(0,﹣1),(2,0),求⊙F的半徑;
(3)求經過三點M,F,D的拋物線的解析式.
【答案】(1)詳見解析;(2)⊙F的半徑為;(3)y=﹣x2+.
【解析】
(1)連接FE,先根據切線的性質知∠FEC=90°,結合∠C=90°證FE∥AC得∠EAC=∠FEA,根據FA=FE知∠FAE=∠FEA,從而得∠FAE=∠CAE,即可得證;
(2)連接FD,設⊙F的半徑為r,根據FD2=(AF﹣AO)2+OD2知r2=(r﹣1)2+22,解之可得;
(3)根據圓的對稱性得出點M的坐標,設拋物線的交點式,將點F坐標代入計算可得.
(1)連接FE,
∵⊙F與邊BC相切于點E,
∴∠FEC=90°,
∵∠ACB=90°,
∴∠FEC+∠ACB=180°,
∴FE∥AC,
∴∠EAC=∠FEA,
∵FA=FE,
∴∠FAE=∠FEA,
∴∠FAE=∠CAE,
∴AE平分∠BAC;
(2)連接FD,
設⊙F的半徑為r,
∵A(0,﹣1),D(2,0),
∴OA=1,OD=2,
在Rt△FOD中,FD2=(AF﹣AO)2+OD2,
∴r2=(r﹣1)2+22,
解得:r=,
∴⊙F的半徑為;
(3)∵FA=r=,OA=1,FO=,
∴F(0,),
∵直徑AG垂直平分弦MD,點M和點D(2,0)關于y軸對稱軸,
∴M(﹣2,0),
設拋物線解析式為y=a(x+2)(x﹣2),
將點F(0,)代入,得:﹣4a=,
解得:a=﹣,
則拋物線解析式為y=﹣(x+2)(x﹣2)=﹣x2+.
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【題目】如圖,在矩形ABCD中,點E,F分別在邊AB,BC上,且AE=AB,將矩形沿直線EF折疊,點B恰好落在AD邊上的點P處,連接BP交EF于點Q,對于下列結論:①EF=2BE;②PF=2PE;③FQ=4EQ;④△PBF是等邊三角形.其中正確的是( )
A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①④
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【題目】如圖,在⊙O中,半徑OC⊥弦AB于點D,點E為優(yōu)弧AB上一點,連接AE、BE、AC,過點C的直線與EA延長線交于點F,且∠ACF=∠AEB.
(1)求證:CF與⊙O相切;
(2)若∠AEB=60°,AB=4,求⊙O的半徑;
(3)在(2)的條件下,若AE=4,求EC的長.
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【題目】下列說法不正確的是( )
A. 設為單位向量,那么
B. 已知、、都是非零向量,如果,,那么
C. 四邊形中,如果滿足,,那么這個四邊形一定是平行四邊形
D. 平面內任意一個非零向量都可以在給定的兩個不平行向量的方向上分解
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【題目】如圖,在中,,,,以點為圓心,以任意長為半徑作弧,分別交于點M,N,再分別以M,N為圓心,以大于的長為半徑作弧,兩弧交于點,作射線交于點,則的長是__________.
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【題目】如圖,排球運動員站在點O處練習發(fā)球,將球從O點正上方2m的A處發(fā)出,把球看成點,其運行的高度y(m)與運行的水平距離x(m)滿足關系式y=a(xk)2+h.已知球與O點的水平距離為6m時,達到最高2.6m,球網與O點的水平距離為9m.高度為2.43m,球場的邊界距O點的水平距離為18m,則下列判斷正確的是( )
A. 球不會過網 B. 球會過球網但不會出界
C. 球會過球網并會出界 D. 無法確定
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【題目】如圖,經過正方形ABCD的頂點A在其外側作直線AP,點B關于直線AP的對稱點為E,連接BE、DE,其中DE交直線AP于點F.
(1)依題意補全圖1.
(2)若∠PAB=30°,求∠ADF的度數.
(3)如圖,若45°<∠PAB<90°,用等式表示線段AB,FE,FD之間的數量關系,并證明.
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【題目】如圖,已知∠AOB=30°,P是∠AOB平分線上一點,CP∥OB,交OA于點C,PD⊥OB,垂足為點D,且PC=8,則PD的長為_____.
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【題目】如圖,AN是⊙M的直徑,NB∥x軸,AB交⊙M于點C.
(1)若點A(0,6),N(0,2),∠ABN=30°,求點B的坐標;
(2)若D為線段NB的中點,求證:直線CD是⊙M的切線.
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