Question

【題目】如圖，經(jīng)過(guò)正方形ABCD的頂點(diǎn)A在其外側(cè)作直線AP，點(diǎn)B關(guān)于直線AP的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為E，連接BE、DE，其中DE交直線AP于點(diǎn)F．

（1）依題意補(bǔ)全圖1．

（2）若∠PAB＝30°，求∠ADF的度數(shù)．

（3）如圖，若45°＜∠PAB＜90°，用等式表示線段AB，FE，FD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）∠ADF＝15°；（3）EF2+FD2＝2AB2，見(jiàn)解析.

【解析】

（1）過(guò)B作AP的垂線段，并延長(zhǎng)至E，使B、E到AP的垂線段相等，得出B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E，連接BE、DE即可；
（2）連接AE，由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得出∠PAB=∠PAE=30°，AE=AB=AD，得出∠AED=∠ADF，求出∠EAD=150°，即可求出∠ADF的度數(shù)；
（3）連接AE、BF、BD，由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得出EF=BF，AE=AB=AD，得出∠ABF=∠AEF=∠ADF，求出∠BFD=∠BAD=90°，根據(jù)勾股定理得出BF2+FD2=BD2，即可得出結(jié)論．

解：（1）如圖1、圖2所示：

（2）連接AE，如圖3所示：

∵點(diǎn)B關(guān)于直線AP的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為E，

則∠PAB＝∠PAE＝30°，AE＝AB＝AD，

∴∠AED＝∠ADF，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BAD＝90°，

∴∠EAD＝90°+30°+30°＝150°，

∴∠ADF＝（180°﹣∠EAD）＝15°；

（3）連接AE、BF、BD，如圖4所示：

則EF＝BF，AE＝AB＝AD，

∴∠EBF＝∠BEF，∠ABE＝∠AEB

∴∠ABF＝∠AEF＝∠ADF，

∴∠BFD＝∠BAD＝90°，

∴BF2+FD2＝BD2，

∵AB2+AD2＝2AB2，EF＝BF，

∴EF2+FD2＝AB2+AD2＝2AB2，

即EF2+FD2＝2AB2．