Question

【題目】如圖，△ABC中，AB⊥BC，BF＝CF，∠C＝30°，D是AC的中點，E是CD的中點，連接BE，AF交于G，連接DG．

（1）若E到BC的距離為2，求AB的長；

（2）證明：GD平分∠AGE；

（3）猜想BG，FG，GD，AF的數量關系，并證明．

Answer 1

【答案】（1）AB＝8；（2）見解析；（3）AF＝GB+GD+GF，見解析.

【解析】

（1）如圖1中，作EH⊥BC于H．利用平行線分線段成比例定理即可解決問題；

（2）如圖1中，連接BD，DF，DM⊥AF于M，DN⊥BE于N．利用全等三角形的對應邊相等，面積相等，根據三角形面積公式即可證明DM=DN；

（3）結論：AF=GB+GD+GF．如圖2中，連接BD，DF，在GA上取一點M，使得GM=GD．利用全等三角形的性質證明GA=GB+GD，GE=GD+GF即可解決問題．

（1）如圖1中，作EH⊥BC于H．

∵AB⊥BC，EH⊥BC，∴EH∥AB，∴．

∵AD=DC，DE=EC，∴EC：AC=1：4．

∵EH=2，∴，∴AB=8．

（2）如圖1中，連接BD，DF，DM⊥AF于M，DN⊥BE于N．

∵∠ABC=90°，AD=DC，∴BD=AD=DC．

∵∠C=30°，∴ABAC=AD=DC．

∵∠BAD=60°，∴△ABD是等邊三角形，同法可證△DEF是等邊三角形，∴AD=DB，DF=DE，∠ADB=∠EDF=60°，∴∠ADF=∠BDE=120°，∴△ADF≌△BDE（SAS），∴AF=BE，S△ADF=S△BDE，∴AFDM=BEDN，∴DM=DN，∴DG平分∠AGE．

（3）結論：AF=GB+GD+GF．

理由：如圖2中，連接BD，DF，在GA上取一點M，使得GM=GD．

∵△ADF≌△△BDE，∴∠DAF=∠DBE，∴∠AGE=∠GBA+∠BAG=∠ABD+∠GBD+∠BAG=∠ABD+∠BAG+∠DAF=120°．

∵DG平分∠AGE，∴∠AGD=∠DGE=∠AGB=∠EGF=60°．

∵GM=GD，∴△DGM是等邊三角形，∴DM=DG，∠ADB=∠MDG=60°，∴∠ADM=∠BDG．

∵AD=BD，MD=GD，∴△AMD≌△BDG，∴BG=AM，∴AG=AM+GM=BG+DG，同法可證GE=DG+GF，∴AF=AG+FG=BG+DG+FG．