【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A、C兩點(diǎn),點(diǎn)A在點(diǎn)C的右邊,與y軸交于點(diǎn)B,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,﹣3),且OB=OC,點(diǎn)D為該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn).
(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo);
(2)如圖,若點(diǎn)P為該二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸上的一點(diǎn),連接PC、PO,使得∠CPO=90°,請(qǐng)求出所有符合題意的點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)在對(duì)稱(chēng)軸上是否存在一點(diǎn)P,使得∠OPC為鈍角,若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為yp的取值范圍,若沒(méi)有,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)二次函數(shù)的解析式為y=x2+2x﹣3,D(﹣1,﹣4);(2)P(﹣1,)或(﹣1,﹣);(3)當(dāng)﹣<yP<且yP≠0時(shí),∠OPC是鈍角.
【解析】
(1)先求出點(diǎn)C坐標(biāo),最后用待定系數(shù)法即可得出結(jié)論;
(2)先利用同角的余角相等,判斷出∠COP=∠CPQ,進(jìn)而求出PQ,即可得出結(jié)論;
(3)借助(2)的結(jié)論和圖形,即可得出結(jié)論.
(1)∵B(0,﹣3),∴OB=3.
∵OB=OC,∴OC=3,∴C(0,﹣3),∴,∴,∴二次函數(shù)的解析式為y=x2+2x﹣3=﹣(x﹣1)2﹣4,∴D(﹣1,﹣4);
(2)如圖,過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q,設(shè)P(﹣1,p).
∵∠COP+∠OPQ=90°,∠CPQ+∠OPQ=90°,∴∠COP=∠CPQ,∴tan∠COP=tan∠CPQ.在Rt△QOP中,tan∠COP=.在Rt△CPQ中,tan∠CPQ=,∴,∴PQ2=CQ×OQ=2(此處可以用射影定理,也可以判斷出△CPQ∽△POQ).
∵PQ>0,∴PQ=,∴p=或p=﹣,∴P(﹣1,)或(﹣1,﹣);
(3)存在這樣的點(diǎn)P,理由:如圖,由(2)知,yP=時(shí),∠OPC=90°.
∵yP=0時(shí),∠OPC是平角,∴當(dāng)﹣<yP<且yP≠0時(shí),∠OPC是鈍角.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某公司實(shí)行年工資制,職工的年工資由基礎(chǔ)工資、住房補(bǔ)貼和醫(yī)療費(fèi)三項(xiàng)組成,具體規(guī)定如下:
項(xiàng)目 | 第一年的工資(萬(wàn)元) | 一年后的計(jì)算方法 |
基礎(chǔ)工資 | 1 | 每年的增長(zhǎng)率相同 |
住房補(bǔ)貼 | 0.04 | 每年增加0.04 |
醫(yī)療費(fèi) | 0.1384 | 固定不變 |
(1)設(shè)基礎(chǔ)工資每年增長(zhǎng)率為x,用含x的代數(shù)式表示第三年的基礎(chǔ)工資為 萬(wàn)元;
(2)某人在公司工作了3年,他算了一下這3年拿到的住房補(bǔ)貼和醫(yī)療費(fèi)正好是這3年基礎(chǔ)工資總額的18 %,問(wèn)基礎(chǔ)工資每年的增長(zhǎng)率是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)在的內(nèi)部,點(diǎn)關(guān)于、的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別為、,連接交、于點(diǎn)、,若,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是( )
A.B.
C.D.垂直平分
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,BC為⊙O的直徑,點(diǎn)D在⊙O上,連結(jié)BD、CD,過(guò)點(diǎn)D的切線(xiàn)AE與CB的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)A,∠BCD=∠AEO,OE與CD交于點(diǎn)F.
(1)求證:OF∥BD;
(2)當(dāng)⊙O的半徑為10,sin∠ADB=時(shí),求EF的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在第一象限及x軸、y軸上運(yùn)動(dòng),且每秒移動(dòng)一個(gè)單位,在第1秒鐘,它從原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到(0,1),然后接著按圖中箭頭所示方向運(yùn)動(dòng),即(0,0)→(0,1)→(1,1)→(1,0)→…,若經(jīng)過(guò)23秒質(zhì)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)A,經(jīng)過(guò)33秒質(zhì)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)B,則直線(xiàn)AB的解析式為( )
A.y=x+B.y=﹣x+C.y=2x+9D.y=﹣2x+9
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,AB∥CD,BE和DF相交于點(diǎn)E.
(1)若∠B=110°,∠D=145°,求∠BEF的度數(shù);
(2)猜想∠B,∠D,∠BEF之間的關(guān)系,并說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】△ABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示.
(1)畫(huà)出△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的△A1B1C1;
(2)將△ABC向右平移6個(gè)單位,作出平移后的△A2B2C2,并寫(xiě)出△A2B2C2各頂點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)觀(guān)察△A1B1C1和△A2B2C2,它們是否關(guān)于某條直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)?若是,請(qǐng)?jiān)趫D上畫(huà)出這條對(duì)稱(chēng)軸.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】一艘觀(guān)光游船從港口以北偏東的方向出港觀(guān)光,航行海里至處時(shí)發(fā)生了側(cè)翻沉船事故,立即發(fā)出了求救信號(hào),一艘在港口正東方向的海警船接到求救信號(hào),測(cè)得事故船在它的北偏東方向,馬上以海里每小時(shí)的速度前往救援,海警船到達(dá)事故船處所需的時(shí)間大約為________小時(shí)(用根號(hào)表示).
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