Question

【題目】如圖，BC為⊙O的直徑，點D在⊙O上，連結BD、CD，過點D的切線AE與CB的延長線交于點A，∠BCD=∠AEO，OE與CD交于點F．

（1）求證：OF∥BD；

（2）當⊙O的半徑為10，sin∠ADB=時，求EF的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）EF=21．

【解析】

（1）連接OD，如圖，利用切線的性質得到OD⊥AE，利用圓周角定理得到∠BDC=90°，然后證明∠ADB=∠AEO得到BD∥OF；

（2）由（1）知，sin∠C=sin∠E=sin∠ADB=．在Rt△BCD中，利用正弦的定義計算出BD=8，再利用三角形中位線性質得到OF=BD=4，接著在Rt△EOD中利用正弦定義計算出OE=25，然后計算OE與OF的差即可．

（1）連接OD，如圖，∵AE與O相切，∴OD⊥AE，∴∠ADB+∠ODB=90°．

∵BC為直徑，∴∠BDC=90°，即∠ODB+∠ODC=90°，∴∠ADB=∠ODC．

∵OC=OD，∴∠ODC=∠C，而∠BCD=∠AEO，∴∠ADB=∠AEO，∴BD∥OF；

（2）由（1）知，∠ADB=∠E=∠BCD，∴sin∠C=sin∠E=sin∠ADB=．在Rt△BCD中，sin∠C==，∴BD=×20=8．

∵OF∥BD，∴OF=BD=4．在Rt△EOD中，sin∠E==，∴OE=25，∴EF=OE﹣OF=25﹣4=21．