Question

【題目】已知拋物線（為常數）.

（1）當該拋物線經過坐標原點，并且頂點在第四象限時，求出它所對應的函數關系式；

（2）設是（1）所確定的拋物線上位于軸下方、且在對稱軸左側的一個動點，過作軸的平行線，交拋物線于另一點，再作軸于，軸于.

①當時，求矩形的周長；

②試問矩形的周長是否存在最大值？如果存在，請求出這個最大值，并指出此時點的坐標.如果不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）y=x2-3x；（2）①6；②存在；最大值為，此時A（，）

【解析】

（1）將原點坐標代入拋物線的解析式中，即可求出n的值，然后根據拋物線頂點在第四象限將不合題意的n值舍去，即可得出所求的二次函數解析式；
（2）①先根據拋物線的解析式求出拋物線與x軸另一交點E的坐標，根據拋物線和矩形的對稱性可知：OB的長，就是OE與BC的差的一半，由此可求出OB的長，即B點的坐標，然后代入拋物線的解析式中即可求出B點縱坐標，也就得出了矩形AB邊的長．進而可求出矩形的周長；
②可設出A點坐標（設橫坐標，根據拋物線的解析式表示縱坐標），也就能表示出B點的坐標，即可得出OB的長，同①可得出BC的長，而AB的長就是A點縱坐標的絕對值，由此可得出一個關于矩形周長和A點縱坐標的函數關系式，根據函數的性質可得出矩形周長的最大值及對應的A的坐標．

解：（1）由已知條件，得n2-1=0，
解這個方程，得n1=1，n2=-1，
當n=1時，得y=x2+x，此拋物線的頂點不在第四象限，
當n=-1時，得y=x2-3x，此拋物線的頂點在第四象限，
∴所求的函數關系為y=x2-3x；

（2）由y=x2-3x，
令y=0，得x2-3x=0，
解得x1=0，x2=3，
∴拋物線與x軸的另一個交點為（3，0），
∴它的頂點為（，），對稱軸為直線x=，其大致位置如圖所示，
①∵BC=1，易知OB=×（3-1）=1，
∴B（1，0），
∴點A的橫坐標x=1，又點A在拋物線y=x2-3x上，
∴點A的縱坐標y=12-3×1=-2．
∴AB=|y|=|-2|=2，
∴矩形ABCD的周長為：2（AB+BC）=2×（2+1）=6；
②∵點A在拋物線y=x2-3x上，故可設A點的坐標為（x，x2-3x），
∴B點的坐標為（x，0）（0＜x＜）
∴BC=3-2x，A在x軸下方，
∴x2-3x＜0，
∴AB=|x2-3x|=3x-x2
∴矩形ABCD的周長，
C=2[（3x-x2）+（3-2x）]=-2（x-）2+，
∵a=-2＜0，拋物線開口向下，二次函數有最大值，
∴當x=時，矩形ABCD的周長C最大值為，

此時點A的坐標為A（，）．