【題目】已知拋物線(為常數).
(1)當該拋物線經過坐標原點,并且頂點在第四象限時,求出它所對應的函數關系式;
(2)設是(1)所確定的拋物線上位于軸下方、且在對稱軸左側的一個動點,過作軸的平行線,交拋物線于另一點,再作軸于,軸于.
①當時,求矩形的周長;
②試問矩形的周長是否存在最大值?如果存在,請求出這個最大值,并指出此時點的坐標.如果不存在,請說明理由.
【答案】(1)y=x2-3x;(2)①6;②存在;最大值為,此時A(,)
【解析】
(1)將原點坐標代入拋物線的解析式中,即可求出n的值,然后根據拋物線頂點在第四象限將不合題意的n值舍去,即可得出所求的二次函數解析式;
(2)①先根據拋物線的解析式求出拋物線與x軸另一交點E的坐標,根據拋物線和矩形的對稱性可知:OB的長,就是OE與BC的差的一半,由此可求出OB的長,即B點的坐標,然后代入拋物線的解析式中即可求出B點縱坐標,也就得出了矩形AB邊的長.進而可求出矩形的周長;
②可設出A點坐標(設橫坐標,根據拋物線的解析式表示縱坐標),也就能表示出B點的坐標,即可得出OB的長,同①可得出BC的長,而AB的長就是A點縱坐標的絕對值,由此可得出一個關于矩形周長和A點縱坐標的函數關系式,根據函數的性質可得出矩形周長的最大值及對應的A的坐標.
解:(1)由已知條件,得n2-1=0,
解這個方程,得n1=1,n2=-1,
當n=1時,得y=x2+x,此拋物線的頂點不在第四象限,
當n=-1時,得y=x2-3x,此拋物線的頂點在第四象限,
∴所求的函數關系為y=x2-3x;
(2)由y=x2-3x,
令y=0,得x2-3x=0,
解得x1=0,x2=3,
∴拋物線與x軸的另一個交點為(3,0),
∴它的頂點為(,),對稱軸為直線x=,其大致位置如圖所示,
①∵BC=1,易知OB=×(3-1)=1,
∴B(1,0),
∴點A的橫坐標x=1,又點A在拋物線y=x2-3x上,
∴點A的縱坐標y=12-3×1=-2.
∴AB=|y|=|-2|=2,
∴矩形ABCD的周長為:2(AB+BC)=2×(2+1)=6;
②∵點A在拋物線y=x2-3x上,故可設A點的坐標為(x,x2-3x),
∴B點的坐標為(x,0)(0<x<)
∴BC=3-2x,A在x軸下方,
∴x2-3x<0,
∴AB=|x2-3x|=3x-x2
∴矩形ABCD的周長,
C=2[(3x-x2)+(3-2x)]=-2(x-)2+,
∵a=-2<0,拋物線開口向下,二次函數有最大值,
∴當x=時,矩形ABCD的周長C最大值為,
此時點A的坐標為A(,).
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【題目】2019年4月22日是第50個世界地球日,某校在八年級5個班中,每班各選拔10名學生參加“環(huán)保知識競賽”并評出了一、二、三等獎各若干名,學校將獲獎情況繪成如圖所示的不完整的條形統計圖和扇形統計圖,請你根據圖中信息解答下列問題:
(1)求本次競賽獲獎的總人數,并補全條形統計圖;
(2)求扇形統計圖中“二等獎”所對應扇形的圓心角度數;
(3)如果該校八年級有800人,請你估計獲獎的同學共有多少人?
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【題目】如圖,一塊長5米寬4米的地毯,為了美觀設計了兩橫、兩縱的配色條紋(圖中陰影部分),已知配色條紋的寬度相同,所占面積是整個地毯面積的.
(1)求配色條紋的寬度;
(2)如果地毯配色條紋部分每平方米造價200元,其余部分每平方米造價100元,求地毯的總造價.
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【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點A(-1,O)、C(3,0),點B為拋物線頂點,直線BD為拋物線的對稱軸,點D在x軸上,連接AB、BC.
⑴如圖1,若∠ABC=60°,則點B的坐標為______________;
⑵如圖2,若∠ABC=90°,AB與y軸交于點E,連接CE.
①求這條拋物線的解析式;
②點P為第一象限拋物線上一個動點,設△PEC的面積為S,點P的橫坐標為m,求S關于m的函數關系武,并求出S的最大值;
③如圖3,連接OB,拋物線上是否存在點Q,使直線QC與直線BC所夾銳角等于∠OBD,若存在請直接寫出點Q的坐標;若不存在,說明理由.
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【題目】如圖,拋物線y=﹣x2+x+2與x軸交于點A,B,與y軸交于點C.
(1)試求A,B,C的坐標;
(2)將△ABC繞AB中點M旋轉180°,得到△BAD.3
①求點D的坐標;
②判斷四邊形ADBC的形狀,并說明理由;
(3)在該拋物線對稱軸上是否存在點P,使△BMP與△BAD相似?若存在,請直接寫出所有滿足條件的P點的坐標;若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,∠MON=90°,已知△ABC中,AC=BC=AB=6,△ABC的頂點A、B分別在邊OM、ON上,當點B在邊ON上運動時,A隨之在OM上運動,△ABC的形狀始終保持不變,在運動的過程中,點C到點O的距離為整數的點有( )個.
A.5B.6C.7D.8
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【題目】如圖,△ABC中,∠ABC=60°,BC=8,點D為△ABC內一點,BD=CD,∠ABD+∠ADC=180°,若AD=2,則AC的長為_____.
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【題目】如圖所示,已知:點 ,點 ,點 ,在 內依次作等邊三角形,使一邊在 軸上,另一個頂點在 邊上,作出的等邊三角形分別是第 個 ,第 個 ,第 個 , ,則第 個等邊三角形的邊長等于 ________.
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【題目】如圖所示,以△ABC的邊AB為直徑作⊙O,點C在⊙O上,BD是⊙O的弦,∠A=∠CBD,過點C作CF⊥AB于點F,交BD于點G過C作CE∥BD交AB的延長線于點E.
(1)求證:CE是⊙O的切線;
(2)求證:CG=BG;
(3)若∠DBA=30°,CG=8,求BE的長.
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