【題目】如圖,拋物線yax2bxcx軸交于點A(-1O)、C3,0),點B為拋物線頂點,直線BD為拋物線的對稱軸,點Dx軸上,連接AB、BC.

⑴如圖1,若∠ABC60°,則點B的坐標為______________;

⑵如圖2,若∠ABC90°,ABy軸交于點E,連接CE.

①求這條拋物線的解析式;

②點P為第一象限拋物線上一個動點,設△PEC的面積為S,點P的橫坐標為m,求S關于m的函數(shù)關系武,并求出S的最大值;

③如圖3,連接OB,拋物線上是否存在點Q,使直線QC與直線BC所夾銳角等于∠OBD,若存在請直接寫出點Q的坐標;若不存在,說明理由.

【答案】1 ;(2)① ;②S的最大值;③.

【解析】

1)∠ABC=60°,故ABC為等邊三角形,即可求解;

⑵①點B的坐標為(12),拋物線的表達式為:y=ax-12+2,將點A的坐標代入上式,即可求解;

②分別求出直線AB、CE的表達式,過點PPHy軸交EC于點H,用含m的式子表示出PHOC,根據(jù)列出函數(shù)關系式并求出最值即可;

③在BD上作點F,使DF=BD,連接CF.過點FFGx軸,分別交CQ于點M、交BC的延長線于點G,過點MMHCE于點H,則CFG為等腰直角三角形,設HG=MH=n,求出,得到點M坐標為,進一步求出直線CM的表達式為:y=-3x+9;再將直線CM解析式與拋物線解析式聯(lián)立成方程組,求解得點Q的坐標.

解:(1)∠ABC=60°,故ABC為等邊三角形,
AC=4,則

函數(shù)對稱軸為x=1,故點B

故答案是

2)①AC=4,則點B的坐標為(12),

拋物線的表達式為:y=ax-12+2,
將點A的坐標代入上式得:0=a-22+2,解得:

函數(shù)的表達式為:

②將點A、B坐標代入一次函數(shù)表達式:y=kx+b得:

解得:

直線AB的表達式為:y=x+1,則點E0,1),
同理可得直線CE的表達式為:

過點PPHy軸交EC于點H,


則點,點

S有最大值,當時,最大值為:

③存在,點Q的坐標為.

理由:

如圖3,在BD上作點F,使DF=BD,連接CF.過點FFGx軸,分別交CQ于點M、交BC的延長線于點G,過點MMHCE于點H,則CFG為等腰直角三角形,

AC=4,則

,QC與直線BC所夾銳角等于∠OBD,即:

設:HG=MH=n,則CH=2n,即

則點M坐標為

可解得直線CM的表達式為:y=-3x+9

將直線CM解析式與拋物線解析式聯(lián)立成方程組,并解得

即點Q的坐標為

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