Question

7．如圖，等邊△ABO在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0），函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0，k是常數(shù)）的圖象經(jīng)過(guò)AB邊的中點(diǎn)D，交OB邊于點(diǎn)E．
（1）求直線(xiàn)OB的函數(shù)解析式；
（2）求k的值；
（3）若函數(shù)y=$\frac{m}{x}$的圖象與△DEB沒(méi)有交點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）過(guò)點(diǎn)B作BC⊥x軸于點(diǎn)C，則OC=AC=2，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求得OC和BC的長(zhǎng)，即可全等B的坐標(biāo)，然后根據(jù)待定系數(shù)法即可求得；
（2）根據(jù)中點(diǎn)的性質(zhì)求得中點(diǎn)的坐標(biāo)，代入y=$\frac{k}{x}$（x＞0，k是常數(shù)），即可求得k的值，
（3）求得E的坐標(biāo)，然后假設(shè)經(jīng)過(guò)B（2，2$\sqrt{3}$），D（3，$\sqrt{3}$），E（$\sqrt{3}$，3）時(shí)，求得m的值，即可得出m的取值范圍．

解答 解：（1）過(guò)點(diǎn)B作BC⊥x軸于點(diǎn)C，
∵△ABO是等邊三角形，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0），
∴OC=AC=2．
由勾股定理得：BC=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴B（2，2$\sqrt{3}$），
設(shè)直線(xiàn)OB的函數(shù)解析式y(tǒng)=mx，則2$\sqrt{3}$=2m，
∴m=$\sqrt{3}$．
∴直線(xiàn)OB的函數(shù)解析式為y=$\sqrt{3}$x；
（2）∵D為AB的中點(diǎn)，
∴D（3，$\sqrt{3}$）
∴k=3$\sqrt{3}$；
（3）解$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}x}\\{y=\frac{3\sqrt{3}}{x}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}}\\{y=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\sqrt{3}}\\{y=-3}\end{array}\right.$，
∴E（$\sqrt{3}$，3），
∵B（2，2$\sqrt{3}$），D（3，$\sqrt{3}$）
假設(shè)經(jīng)過(guò)B（2，2$\sqrt{3}$）時(shí)，m=2×2$\sqrt{3}$=4$\sqrt{3}$
假設(shè)經(jīng)過(guò)D（3，$\sqrt{3}$）時(shí)，m=3×$\sqrt{3}$=3$\sqrt{3}$，
假設(shè)經(jīng)過(guò)E（$\sqrt{3}$，3）時(shí)，m=3×$\sqrt{3}$=3$\sqrt{3}$，
∴若函數(shù)y=$\frac{m}{x}$的圖象與△DEB沒(méi)有交點(diǎn)，m＞4$\sqrt{3}$或m＜3$\sqrt{3}$且m≠0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求得B的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．