Question

【題目】(12分)如圖，已知拋物線y＝ax2+bx﹣2(a≠0)與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，直線BD交拋物線于點(diǎn)D，并且D(2，3)，B(﹣4，0)．

(1)求拋物線的解析式；

(2)已知點(diǎn)M為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且在第三象限，順次連接點(diǎn)B、M、C，求△BMC面積的最大值；

(3)在(2)中△BMC面積最大的條件下，過點(diǎn)M作直線平行于y軸，在這條直線上是否存在一個(gè)以Q點(diǎn)為圓心，OQ為半徑且與直線AC相切的圓？若存在，求出圓心Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2+x﹣2；（2）S△BMC最大值為4；（3）存在；點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（﹣2，4）或（﹣2，﹣1）．

【解析】

（1）用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式即可；

（2）首先求出三邊形BMC面積的表達(dá)式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出其最大值；

（3）設(shè)點(diǎn)Q坐標(biāo)為（﹣2，m）．先求出sin∠QHN的值，然后求出直線AC的表達(dá)式，從而得出點(diǎn)H的坐標(biāo)．解Rt△QNH得出m的值．即可得到結(jié)論．

（1）將D（2，3）、B（﹣4，0）的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：，解得，∴拋物線的解析式為：yx2x﹣2．

（2）過點(diǎn)M作y軸的平行線，交直線BC于點(diǎn)K．

將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：y=k′x+b′得：，解得：，則直線BC的表達(dá)式為：．

設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，），則點(diǎn)K（x，），S△BMC=MKOB=2（）=﹣x2﹣4x．

∵a=﹣1＜0，∴S△BMC有最大值，當(dāng)x==﹣2時(shí)，S△BMC最大值為4，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣2，﹣3）；

（3）如圖所示，存在一個(gè)以Q點(diǎn)為圓心，OQ為半徑且與直線AC相切的圓，切點(diǎn)為N，過點(diǎn)M作直線平行于y軸，交直線AC于點(diǎn)H．

點(diǎn)M坐標(biāo)為（﹣2，﹣3），設(shè)：點(diǎn)Q坐標(biāo)為（﹣2，m），點(diǎn)A、C的坐標(biāo)為（1，0）、（0，﹣2），tan∠OCA=．

∵QH∥y軸，∴∠QHN=∠OCA，∴tan∠QHN=，則sin∠QHN=．

將點(diǎn)A、C的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：y=mx+n得：，則直線AC的表達(dá)式為：y=2x﹣2，則點(diǎn)H（﹣2，﹣6）．

在Rt△QNH中，QH=m+6，QN=OQ==，sin∠QHN= ，解得：m=4或﹣1．

即點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（﹣2，4）或（﹣2，﹣1）．