【題目】如圖,ABCD的對角線AC、BD相交于點M,點M在以AB為直徑的⊙O上,AD與⊙O相交于點E,連接ME.
(1)求證:ME=MD;
(2)當∠DAB=30°時,判斷直線CD與⊙O的位置關系,并說明理由.
【答案】(1)證明見解析;(2)直線CD與⊙O相切.
【解析】
(1)由圓周角定理可得∠AMB=90°,可證ABCD是菱形,可得AD=AB,根據(jù)等腰三角形的性質和圓內接四邊形的性質可得∠ADB=∠DEM,即MEI=DM;
(2)過O作OH⊥CD于H,過D作DF⊥AB于F,由題意可證四邊形OFDH是平行四邊形,可得OH=DF,根據(jù)菱形的性質和直角三角形的性質可得OH=AB,根據(jù)切線的判定,可證直線CD與⊙O相切.
證明:(1)∵AB是⊙O直徑,
∴∠AMB=90°,
∴ABCD是菱形,
∴AD=AB,
∴∠ADB=∠ABD,
∵四邊形AEMB是圓內接四邊形,
∴∠DEM=∠ABD,
∴∠ADB=∠DEM,
∴ME=MD.
(2)直線CD與⊙O相切
理由如下:
過O作OH⊥CD于H,過D作DF⊥AB于F,
∵DF⊥AB,AB∥CD,
∴DF⊥CD,且OH⊥CD,
∴OH∥DF,且AB∥CD,
∴四邊形OFDH是平行四邊形,
∴OH=DF,
∵在Rt△ADF中,∠DAF=30°,
∴DF=AD,
又∵四邊形ABCD是菱形,
∴AD=AB,
∴OH=DF=AD=AB,
又∵OH⊥CD,
∴直線CD與⊙O相切.
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【題目】如圖,P是拋物線y=x2﹣4x+3上的一點,以點P為圓心、1個單位長度為半徑作⊙P,當⊙P與直線y=0相切時,點P的坐標為_____.
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【題目】“十九大”報告提出了我國將加大治理環(huán)境污染的力度,還我青山綠水,其中霧霾天氣讓環(huán)保和健康問題成為焦點,為了調查學生對霧霾天氣知識的了解程度,某校在全校學生中抽取400名同學做了一次調查,根據(jù)調查統(tǒng)計結果,繪制了不完整的一種統(tǒng)計圖表.
對霧霾了解程度的統(tǒng)計表
對霧霾的了解程度 | 百分比 |
A.非常了解 | 5% |
B.比較了解 | m |
C.基本了解 | 45% |
D.不了解 | n |
請結合統(tǒng)計圖表,回答下列問題:
(1)統(tǒng)計表中:m= ,n= ;
(2)請在圖1中補全條形統(tǒng)計圖;
(3)請問在圖2所示的扇形統(tǒng)計圖中,D部分扇形所對應的圓心角是多少度?
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【題目】去學校食堂就餐,經(jīng)常會在一個買菜窗口前等待,經(jīng)調查發(fā)現(xiàn),同學的舒適度指數(shù)y與等時間x(分)之間滿足反比例函數(shù)關系,如下表:
等待時間x | 1 | 2 | 5 | 10 | 20 |
舒適度指數(shù)y | 100 | 50 | 20 | 10 | 5 |
已知學生等待時間不超過30分鐘
(1)求y與x的函數(shù)關系式,并寫出自變量x的取值范圍.
(2)若等待時間8分鐘時,求舒適度的值;
(3)舒適度指數(shù)不低于10時,同學才會感到舒適.請說明,作為食堂的管理員,讓每個在窗口買菜的同學最多等待多少時間?
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【題目】如圖,四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形,AC為直徑,點B是弧AC的中點,若AC=7,BD=6,則由四個弓形組成的陰影部分的面積為_____.
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【題目】如圖,已知拋物線y=ax2+bx的頂點為C(1,),P是拋物線上位于第一象限內的一點,直線OP交該拋物線對稱軸于點B,直線CP交x軸于點A.
(1)求該拋物線的表達式;
(2)如果點P的橫坐標為m,試用m的代數(shù)式表示線段BC的長;
(3)如果△ABP的面積等于△ABC的面積,求點P坐標.
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【題目】已知:如圖,AB是⊙O的直徑,點P在BA的延長線上,弦CD交AB于E,連接OD、PC、BC,∠AOD=2∠ABC,∠P=∠D,過E作弦GF⊥BC交圓與G、F兩點,連接CF、BG.則下列結論:①CD⊥AB;②PC是⊙O的切線;③OD∥GF;④弦CF的弦心距等于BG.則其中正確的是( 。
A. ①②④ B. ③④ C. ①②③ D. ①②③④
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【題目】(12分)如圖,已知拋物線y=ax2+bx﹣2(a≠0)與x軸交于A、B兩點,與y軸交于C點,直線BD交拋物線于點D,并且D(2,3),B(﹣4,0).
(1)求拋物線的解析式;
(2)已知點M為拋物線上一動點,且在第三象限,順次連接點B、M、C,求△BMC面積的最大值;
(3)在(2)中△BMC面積最大的條件下,過點M作直線平行于y軸,在這條直線上是否存在一個以Q點為圓心,OQ為半徑且與直線AC相切的圓?若存在,求出圓心Q的坐標;若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,點D在⊙O的直徑AB的延長線上,點C在⊙O上,AC=CD,∠ACD=120°.
(1)求證:CD是⊙O的切線;
(2)若⊙O的半徑為2,求圖中陰影部分的面積.
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