【題目】如圖,拋物線y=x2﹣2x﹣3與x軸分別交于A,B兩點(點A在點B的左邊),與y軸交于點C,頂點為D.
(1)如圖1,求△BCD的面積;
(2)如圖2,P是拋物線BD段上一動點,連接CP并延長交x軸于E,連接BD交PC于F,當(dāng)△CDF的面積與△BEF的面積相等時,求點E和點P的坐標.
【答案】(1)3;(2)E(5,0),P(,﹣)
【解析】
(1)分別求出點C,頂點D,點A,B的坐標,如圖1,連接BC,過點D作DM⊥y軸于點M,作點D作DN⊥x軸于點N,證明△BCD是直角三角形,即可由三角形的面積公式求出其面積;
(2)先求出直線BD的解析式,設(shè)P(a,a2﹣2a﹣3),用含a的代數(shù)式表示出直線PC的解析式,聯(lián)立兩解析式求出含a的代數(shù)式的點F的坐標,過點C作x軸的平行線,交BD于點H,則yH=﹣3,由△CDF與△BEF的面積相等,列出方程,求出a的值,即可寫出E,P的坐標.
(1)在y=x2﹣2x﹣3中,
當(dāng)x=0時,y=﹣3,
∴C(0,﹣3),
當(dāng)x=﹣=1時,y=﹣4,
∴頂點D(1,﹣4),
當(dāng)y=0時,
x1=﹣1,x2=3,
∴A(﹣1,0),B(3,0),
如圖1,連接BC,過點D作DM⊥y軸于點M,作點D作DN⊥x軸于點N,
∴DC2=DM2+CM2=2,BC2=OC2+OB2=18,DB2=DN2+BN2=20,
∴DC2+BC2=DB2,
∴△BCD是直角三角形,
∴S△BCD=DCBC=×3=3;
(2)設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b,
將B(3,0),D(1,﹣4)代入,
得,
解得,k=2,b=﹣6,
∴yBD=2x﹣6,
設(shè)P(a,a2﹣2a﹣3),直線PC的解析式為y=mx﹣3,
將P(a,a2﹣2a﹣3)代入,
得am=a2﹣2a﹣3,
∵a≠0,
∴解得,m=a﹣2,
∴yPC=(a﹣2)x﹣3,
當(dāng)y=0時,x=,
∴E(,0),
聯(lián)立,
解得,,
∴F(,),
如圖2,過點C作x軸的平行線,交BD于點H,則yH=﹣3,
∴H(,﹣3),
∴S△CDF=CH(yF﹣yD),S△BEF=BE(﹣yF),
∴當(dāng)△CDF與△BEF的面積相等時,
CH(yF﹣yD)=BE(﹣yF),
即×(+4)=(﹣3)(﹣),
解得,a1=4(舍去),a2=,
∴E(5,0),P(,﹣).
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【題目】如圖,一段拋物線:y=﹣x(x﹣2)(0≤x≤2)記為C1,它與x軸交于兩點O,A1;將C1繞A1旋轉(zhuǎn)180°得到C2,交x軸于A2;將C2繞A2旋轉(zhuǎn)180°得到C3,交x軸于A3;…如此進行下去,直至得到C2018,若點P(4035,m)在第2018段拋物線C2018上,則m的值是( )
A.1B.-1C.0D.4035
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,D是以點A為圓心2為半徑的圓上一點,連接BD,M為BD的中點,則線段CM長度的最小值為__________.
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【題目】周末,小馬和小聰想用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識測量圖書館前小河的寬,測量時,他們選擇河對岸邊的一棵大樹,將其底部作為點A,在他們所在的岸邊選擇了點B,使得AB與河岸垂直,并在B點豎起標桿BC,再在AB的延長線上選擇點D豎起標桿DE,使得點E與點C、A共線.已知:CB⊥AD,ED⊥AD,測得BC=1m,DE=1.35m,BD=7m.測量示意圖如圖所示.請根據(jù)相關(guān)測量信息,求河寬AB.
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【題目】圖甲是小張同學(xué)設(shè)計的帶圖案的花邊作品,該作品由形如圖乙的矩形圖案設(shè)計拼接面成(不重疊,無縫隙).圖乙中,點E、F、G、H分別為矩形AB、BC、CD、DA的中點,若AB=4,BC=6,則圖乙中陰影部分的面積為
_____.
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【題目】如圖,△ABC三個頂點的坐標分別為A(1,1),B(4,2),C(3,4).
(1) 請畫出△ABC向左平移5個單位長度后得到的△ABC;
(2) 請畫出△ABC關(guān)于原點對稱的△ABC;
(3) 在軸上求作一點P,使△PAB的周長最小,請畫出△PAB,并直接寫出P的坐標.
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【題目】如圖,以AB邊為直徑的⊙O經(jīng)過點P,C是⊙O上一點,連結(jié)PC交AB于點E,且∠ACP=60°,PA=PD.
(1)試判斷PD與⊙O的位置關(guān)系,并說明理由;
(2)若點C是弧AB的中點,已知AB=4,求CECP的值.
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【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,弦CD⊥AB于點H,點F是上一點,連接AF交CD的延長線于點E.
(1)求證:△AFC∽△ACE;
(2)若AC=5,DC=6,當(dāng)點F為的中點時,求AF的值.
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