【題目】(1)問題背景

如圖,BC是⊙O的直徑,點(diǎn)A在⊙O上,AB=AC,P為上一動(dòng)點(diǎn)(不與B,C重合),

求證:PA=PB+PC.

請(qǐng)你根據(jù)小明同學(xué)的思考過程完成證明過程

(2)類比遷移

如圖②,⊙O的半徑為3,點(diǎn)A,B在⊙O,C為⊙O內(nèi)一點(diǎn),AB=AC,AB⊥AC,垂足為A,求OC的最小值

(3)拓展延伸

如圖,⊙O的半徑為3,點(diǎn)A,B在⊙O,C為⊙O內(nèi)一點(diǎn),AB=AC,AB⊥AC,垂足為A,則OC的最小值為

【答案】(1)證明見解析(2)3-2(3)

【解析】

分析: (1)將△PAC繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°QAB(如圖①),只要證明APQ是等腰直角三角形即可解決問題,(2)如圖②中,連接OA,OAC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°QAB,連接OB,OQ,BOQ,利用三邊關(guān)系定理即可解決問題,
(3)如圖③構(gòu)造相似三角形即可解決問題,AQOA,使得AQ=OA,連接OQ,BQ,OB,

由△QAB∽△OAC,推出BQ=OC,當(dāng)BQ最小時(shí),OC最小.

詳解:(1)證明:BC是直徑,

∴∠BAC=90°,

AB=AC,

∴∠ACB=ABC=45°,

由旋轉(zhuǎn)可得∠QBAPCA,ACB=APB=45°,PC=QB,

∵∠PCA+PBA=180°,

∴∠QBA+PBA=180°,

Q,B,P三點(diǎn)共線,

∴∠QAB+BAP=BAP+PAC=90°

QP2=AP2+AQ2=2AP2

QP=AP=QB+BP=PC+PB,

AP=PC+PB,

(2)解:連接OA,OAC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°QAB,連接OB,OQ,

ABAC,

∴∠BAC=90°.

由旋轉(zhuǎn)可得 QB=OC.AQ=OA.QABOAC.

∴∠QAB+BAO=BAO+OAC=90°.

∴在RtOAQ.OQ=3,AO=3,

∴在OQB,BQOQ-OB=3-3,

OC最小值是3-3,

(3)如圖中,AQOA,使得AQ=OA,連接OQ,BQ,OB,

∵∠QAO=BAC=90°,
QAB=OAC,
,
∴△QAB∽△OAC,
BQ=OC,

當(dāng)BQ最小時(shí),OC最小,易知OA=3,AQ=4,OQ=5,BQOQ-OB,
OQ≥2,
BQ的最小值為2,
OC的最小值為,故答案為.

點(diǎn)睛: 本題考查圓綜合題,全等三角形的判定和性質(zhì),相似三角形的判定和性質(zhì),等腰直角三角形的判定和性質(zhì),勾股定理,三角形的三邊關(guān)系等知識(shí),解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用旋轉(zhuǎn)法添加常用輔助線,構(gòu)造全等三角形或相似三角形解決問題,屬于中考?jí)狠S題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】某校為了了解本校七年級(jí)學(xué)生的視力情況(視力情況分為:不近視,輕度近視,中度近視,重度近視),隨機(jī)對(duì)七年級(jí)的部分學(xué)生進(jìn)行了抽樣調(diào)查,將調(diào)查結(jié)果進(jìn)行整理后,繪制了如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖,其中中度近視人數(shù)是不近視與重度近視人數(shù)之和的一半.

請(qǐng)你根據(jù)以上信息解答下列問題:

1)求本次調(diào)查的學(xué)生人數(shù);

2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖.在扇形統(tǒng)計(jì)圖中,求“中度近視”對(duì)應(yīng)扇形的圓心角的度數(shù);

3)若該校七年級(jí)學(xué)生有1200人,請(qǐng)你估計(jì)該校七年級(jí)近視(包括輕度近視,中度近視,重度近視)的學(xué)生大約有多少人?

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①兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形;

②一組對(duì)邊平行,一組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形;

③一組對(duì)邊平行,另一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形;

④一組對(duì)邊平行,一條對(duì)角線被另一條對(duì)角線平分的四邊形是平行四邊形;

⑤一組對(duì)邊相等,一組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形,

1)上述五個(gè)命題中,是真命題的是   (填寫序號(hào))

2)請(qǐng)選擇一個(gè)假命題,并舉反例說明.

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(1)請(qǐng)用樹形圖法或列表法,表示某個(gè)同學(xué)抽簽的各種可能情況.

(2)小張同學(xué)對(duì)物理的、和化學(xué)的b、c號(hào)實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)備得較好,他同時(shí)抽到兩科都準(zhǔn)備的較好的實(shí)驗(yàn)題目的概率是多少?

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2ADBC是什么位置關(guān)系?并說明理由;

3)若∠DABα,∠DGCβ,直接寫出α、β滿足什么數(shù)量關(guān)系時(shí),AEDG

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①圖1a的值為500;

②乙車的速度為35 m/s;

③圖1中線段EF應(yīng)表示為;

④圖2中函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為100.

其中所有的正確結(jié)論是( )

A. ①④ B. ②③

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A. B. C. D.

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