Question

5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△ABC的斜邊AB在x軸上，頂點(diǎn)C在y軸的負(fù)半軸上，tan∠ABC=$\frac{3}{4}$，點(diǎn)P在線段OC上，且PO、PC的長(zhǎng)（P0＜PC）是x²-12x+27=0的兩根．
（1）求P點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）若∠ACB的平分線交x軸于點(diǎn)D，求直線CD的解析式；
（3）若M是射線CD上的點(diǎn)，在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)Q，使以A、C、M、Q為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由PO、PC的長(zhǎng)（P0＜PC）是x²-12x+27=0的兩根，解方程可得出PO=3，結(jié)合點(diǎn)P在線段OC上可得出P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）由（1）可得出OC的長(zhǎng)，結(jié)合tan∠ABC=$\frac{3}{4}$在直角三角形COB中可求出OB的長(zhǎng)度，由∠CAB與∠ABC互余可得出cot∠BAC=tan∠ABC，在直角三角形AOC中可求出AO的長(zhǎng)度，從而得出B、A點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合C點(diǎn)的坐標(biāo)可找出直線AC、BC的解析式，由CD平分∠ACB可得出點(diǎn)D到直線AC的距離等于點(diǎn)D到直線BC的距離，設(shè)出D點(diǎn)坐標(biāo)，由點(diǎn)到直線的距離即可得出關(guān)于m的一元一次方程，解方程即可得出D點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合C點(diǎn)坐標(biāo)即可得出直線CD的解析式；
（3）結(jié)合∠ACB=90°可知點(diǎn)Q在直線BC上，由CD平分∠ACB，可得出以A、C、M、Q為頂點(diǎn)的四邊形是正方形，設(shè)出Q點(diǎn)坐標(biāo)，由CQ=AC即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵PO、PC的長(zhǎng)（P0＜PC）是x²-12x+27=0的兩根，
∴PO=3，PC=9．
又∵點(diǎn)P在線段OC上，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，-3）．
（2）∵PO=3，PC=9，
∴OC=OP+PC=12，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-12）
在Rt△COB中，tan∠ABC=$\frac{3}{4}$，OC=12，
∴OB=$\frac{OC}{tan∠ABC}$=16，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，16）．
∵△ABC為直角三角形，
∴cot∠BAC=tan∠ABC=$\frac{3}{4}$，
在Rt△AOC中，cot∠OAC=$\frac{3}{4}$，OC=12，
∴OA=OC•cot∠OAC=9，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-9，0）．
∴直線BC的解析式為y=$\frac{3}{4}$x-12，即$\frac{3}{4}$x-y-12=0；
直線AC的解析式為y=-$\frac{4}{3}$x-12，即$\frac{4}{3}$x+y+12=0．
設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，0）．
∵點(diǎn)D為∠ACB的平分線上的點(diǎn)，
∴有$\frac{|\frac{3}{4}m-12|}{\sqrt{（\frac{3}{4}）^{2}+（-1）^{2}}}$=$\frac{|\frac{4}{3}m+12|}{\sqrt{（\frac{4}{3}）^{2}+{1}^{2}}}$，
解得：m=$\frac{12}{7}$，
故點(diǎn)D的坐標(biāo)為（$\frac{12}{7}$，0），
直線CD的解析式為y=7x-12．
（3）假設(shè)存在，畫(huà)出圖形如下．

∵以A、C、M、Q為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，
∴點(diǎn)Q在直線BC上，
∵CD為∠ACD的角平分線，
∴∠ACM=45°，
∴AM=AC=CQ=MQ．
設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x，$\frac{3}{4}$x-12）．
∵AC=$\sqrt{1{2}^{2}+{9}^{2}}$=15，CQ=$\sqrt{{x}^{2}+（\frac{3}{4}x-12+12）^{2}}$，
∴$\sqrt{{x}^{2}+（\frac{3}{4}x-12+12）^{2}}$=15，
解得：x=12，或x=-12（舍去），
即點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（12，-3）．
故在平面內(nèi)存在點(diǎn)Q，使以A、C、M、Q為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（12，-3）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解一元二次方程、利用三角函數(shù)值解直角三角形、點(diǎn)到直線的距離以及正方形的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵：（1）解一元二次方程；（2）利用點(diǎn)到直線的距離找出關(guān)于m的一元一次方程；（3）正方形的判定及性質(zhì)．本題屬于中檔題，難度不大，（1）難度很��；（2）借助了角平分線的性質(zhì)與點(diǎn)到直線的距離公式列出方程；（3）結(jié)合圖形與已知找出以A、C、M、Q為頂點(diǎn)的四邊形是正方形．