Question

15．已知：如圖，在直角梯形紙片ABCD中，DC∥AB，AB＞CD＞AD，∠A=90°，將紙片沿過(guò)點(diǎn)D的直線翻折，使點(diǎn)A落在邊CD上的點(diǎn)E處，折痕為DF，聯(lián)結(jié)EF并展開(kāi)紙片．
（1）求證：四邊形ADEF為正方形；
（2）取線段AF的中點(diǎn)G，聯(lián)結(jié)GE，當(dāng)BG=CD時(shí)，求證：四邊形GBCE為等腰梯形．

Answer 1

分析 （1）由題意知，AD=DE，易證四邊形AFED是矩形，繼而證得四邊形AFED是正方形；
（2）由BG與CD平行且相等，可得四邊形BCDG是平行四邊形，即證得CB=DG，在正方形AFED中，易證△DAG≌△EFG，則可得DG=EG=BC，即四邊形GBCE是等腰梯形．

解答 （1）證明：∵DC∥AB，∠A=90°，
∴∠ADE=90°，
由折疊的性質(zhì)可得：∠A=∠DEF=90°，AD=ED，AF=EF，
∵四邊形ADEF為矩形，
∴四邊形ADEF為正方形；

（2）連接EG，DG，
∵BG∥CD，且BG=CD，
∴四邊形BCDG是平行四邊形．
∴CB=DG．
∵四邊形ADEF是正方形，
∴EF=DA，∠EFG=∠A=90°．
∵G是AF的中點(diǎn)，
∴AG=FG．
在△DAG和△EFG中，
$\left\{\begin{array}{l}{DA=EF}\\{∠A=∠EFG}\\{AG=FG}\end{array}\right.$，
∴△DAG≌△EFG（SAS），
∴DG=EG，
∴EG=BC．
∴四邊形GBCE是等腰梯形．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了直角梯形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)以及等腰三角形的判定．注意證得四邊形BCDG是平行四邊形與△DAG≌△EFG是關(guān)鍵．