Question

【題目】如圖，二次函數(shù) 的圖像與 軸交于 、 兩點(diǎn)，與 軸交于點(diǎn) ， ．點(diǎn) 在函數(shù)圖像上， 軸，且 ，直線(xiàn) 是拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸， 是拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)．

圖 ① 圖②
（1）求 、 的值；
（2）如圖①，連接 ，線(xiàn)段 上的點(diǎn) 關(guān)于直線(xiàn) 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn) 恰好在線(xiàn)段 上，求點(diǎn) 的坐標(biāo)；
（3）如圖②，動(dòng)點(diǎn) 在線(xiàn)段 上，過(guò)點(diǎn) 作 軸的垂線(xiàn)分別與 交于點(diǎn) ，與拋物線(xiàn)交于點(diǎn) ．試問(wèn)：拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn) ，使得 與 的面積相等，且線(xiàn)段 的長(zhǎng)度最小？如果存在，求出點(diǎn) 的坐標(biāo)；如果不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵CD⊥x軸，CD=2，

∴拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)l:x=1，

∴=1，則b=-2。

∵OB=OC，C（0，c），

∴B點(diǎn)的坐標(biāo)為（-c,0），

∴0=c2+2c+c，解得c=-3或c=0（舍去），

∴c=-3,

（2）

解：由（1）可得拋物線(xiàn)解析式為y=x2-2x-3，則E（1，-4）

設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，m），

∵對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)l:x=1,

∴點(diǎn)F關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，m）。

∵直線(xiàn)BE經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（3，0），E（1，-4），

∴利用待定系數(shù)法可得直線(xiàn)BE的表達(dá)式y(tǒng)=2x-6,

∵點(diǎn)F在BE上，

∴m=2×2-6=-2，

即點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，-2）。

（3）

解：存在點(diǎn)Q滿(mǎn)足題意。設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（n,0），則PA=n+1，PB=PM=3-n，PN=-n2+2n+3,

作QR⊥PN，垂足為R，

∵S△PQN=S△APM，

∴（n+1）(3-n)=（-n2+2n+3）QR，

∴QR=1。

①點(diǎn)Q在直線(xiàn)PN的左側(cè)時(shí)，Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（n-1,n2-4n）,R點(diǎn)的坐標(biāo)為（n,n2-4n）,N點(diǎn)的坐標(biāo)為（n,n2-2n-3）,

∴在Rt△QRN中，NQ2=1+（2n-3）2,

∴n=時(shí)，NQ取最小值1，此時(shí)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）

②點(diǎn)Q在直線(xiàn)PN的右側(cè)時(shí)，Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（n+1,n2-4）.

同理NQ2=1+（2n-1）2,

∴n=時(shí)，NQ取最小值1，此時(shí)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（,）.

綜上所述，滿(mǎn)足題意的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（,）和(,)

【解析】（1）因?yàn)镃D⊥x軸，所以C與D的縱坐標(biāo)相等，即C與D關(guān)于拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，則可得對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)l:x=1，從而由x=-代入a的值，求出b；又由OB=OC，可得B（-c,0）,代入二次函數(shù)解析式，求出c的值即可;
（2）設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，m）關(guān)于直線(xiàn)x=1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為（2，m），則求出BE的解析式，將（2，m）代入解出m的值即可；
（3）可設(shè)P（n,0），用n可表示出PA=n+1，PB=PM=3-n，PN=-n2+2n+3,作QR⊥PN，垂足為R，由S△PQN=S△APM ， 可列出方程求出QR=1；
分類(lèi)討論點(diǎn)Q在直線(xiàn)PN的左側(cè)和Q在直線(xiàn)PN的右側(cè)時(shí)，在Rt△QRN中，由勾股定理可得NQ2=QR2+NR2,求出當(dāng)n為多少時(shí)，NQ為最小值，寫(xiě)出相對(duì)應(yīng)的Q的坐標(biāo)。
【考點(diǎn)精析】掌握二次函數(shù)的圖象和三角形的面積是解答本題的根本，需要知道二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開(kāi)口方向2、對(duì)稱(chēng)軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)；三角形的面積=1/2×底×高．