分析:首先把已知等式通分變形得到a
2b+ab
2+a
2c+ac
2+b
2c+bc
2+3abc=abc,然后分解因式得到a
2b+ab
2+a
2c+ac
2+b
2c+bc
2+2abc=(a+b)(b+c)(a+c)=0,由此得到a+b,b+c,c+a中,至少有一個(gè)是0,接著得到當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)a
n+b
n,b
n+c
n,a
n+c
n至少有一個(gè)是0,最后證明
++-=0即可,方法也是通分利用前面結(jié)論即可解決問(wèn)題.
解答:證明:∵
++=,
兩邊同時(shí)乘以abc (abc不等于0)得,
bc+ac+ab=
,
兩邊同時(shí)乘以a+b+c得,
a
2b+ab
2+a
2c+ac
2+b
2c+bc
2+3abc=abc,
∴a
2b+ab
2+a
2c+ac
2+b
2c+bc
2+2abc=0,
∴a
2b+ab
2+a
2c+ac
2+b
2c+bc
2+2abc=(a+b)(b+c)(a+c)=0,
∴a+b,b+c,c+a中,至少有一個(gè)是0,
故當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)a
n+b
n,b
n+c
n,a
n+c
n至少有一個(gè)是0,
同理:
++-,
=
(an+bn)(bn+cn)(an+cn) |
anbncn(an+bn+cn) |
,
=0.
∴
++=.
點(diǎn)評(píng):本題考查了由分式等式向整式等式轉(zhuǎn)化的方法,因式分解在整式變形中的作用.幾個(gè)因式的積為0,這幾個(gè)因式中至少有一個(gè)為0.