已知
1
a
+
1
b
+
1
c
=
1
a+b+c
,求證:n為奇數(shù)時(shí),
1
an
+
1
bn
+
1
cn
=
1
an+bn+cn
分析:首先把已知等式通分變形得到a2b+ab2+a2c+ac2+b2c+bc2+3abc=abc,然后分解因式得到a2b+ab2+a2c+ac2+b2c+bc2+2abc=(a+b)(b+c)(a+c)=0,由此得到a+b,b+c,c+a中,至少有一個(gè)是0,接著得到當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)an+bn,bn+cn,an+cn至少有一個(gè)是0,最后證明
1
an
+
1
bn
+
1
cn
-
1
an+bn+cn
=0
即可,方法也是通分利用前面結(jié)論即可解決問(wèn)題.
解答:證明:∵
1
a
+
1
b
+
1
c
=
1
a+b+c
,
兩邊同時(shí)乘以abc (abc不等于0)得,
bc+ac+ab=
abc
a+b+c

兩邊同時(shí)乘以a+b+c得,
a2b+ab2+a2c+ac2+b2c+bc2+3abc=abc,
∴a2b+ab2+a2c+ac2+b2c+bc2+2abc=0,
∴a2b+ab2+a2c+ac2+b2c+bc2+2abc=(a+b)(b+c)(a+c)=0,
∴a+b,b+c,c+a中,至少有一個(gè)是0,
故當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)an+bn,bn+cn,an+cn至少有一個(gè)是0,
同理:
1
an
+
1
bn
+
1
cn
-
1
an+bn+cn
,
=
(an+bn)(bn+cn)(an+cn)
anbncn(an+bn+cn)

=0.
1
an
+
1
bn
+
1
cn
=
1
an+bn+cn
點(diǎn)評(píng):本題考查了由分式等式向整式等式轉(zhuǎn)化的方法,因式分解在整式變形中的作用.幾個(gè)因式的積為0,這幾個(gè)因式中至少有一個(gè)為0.
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相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知
1
a
+
1
b
+
1
c
=O,a2+b2+c2=1,則a+b+c的值等于(  )
A、1B、-1C、1或-1D、O

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知:
1
a2
+
1
b2
+
1
c2
=
1
a
+
1
b
+
1
c
=1,則
a+b
c
=
 

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

已知
1
a
+
1
b
+
1
c
=O,a2+b2+c2=1,則a+b+c的值等于( 。
A.1B.-1C.1或-1D.O

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知
1
a
+
1
b
+
1
c
=
1
a+b+c
,求證:n為奇數(shù)時(shí),
1
an
+
1
bn
+
1
cn
=
1
an+bn+cn

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