【題目】 (1)如圖1,等腰Rt△ABC中,∠CAB=90°,點(diǎn)H在BC邊上,連AH,作等腰Rt△HFA,∠HFA=90°求證:AF=CF.
(2)如圖2,等腰Rt△ABC中,∠CAB=90°,D在BC上,AD⊥AE,AD=AE,G為CD中點(diǎn),求證:AG⊥BE
(3)如圖3,等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°,過C作CD∥AB, CD=8,連AD,在AD上取一點(diǎn)E使AE=AB,連BE交AC于F,若AF=9,則AD= .
【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)17.
【解析】
(1)以AH為直徑作圓O,與BC交于點(diǎn)E,可得∠AEC=90°,由等腰三角形三線合一可知AE為BC邊上的中線,所以EA=EC,再由圓周角定理推出∠AEF=∠AHF=45°=∠CEF,再次由等腰三角形三線合一可知EF垂直平分AC,即可得證;
(2)延長AG到N,使GN=AG,連接CN,易證△AGD≌△NGC,然后推出∠ACN=∠BAE,再證明△ACN≌△BAE,得到∠CAN=∠ABE,即可得出結(jié)論;
(3)延長BE,CD交于G,易得DG=DE,設(shè)CF=a,則AC=AB=AE=AF+CF=9+a,由相似三角形對應(yīng)邊成比例,用a表示出CG,DE,AD,然后用勾股定理建立方程求解.
證明:(1)如圖所示,以AH為直徑作圓O,與BC交于點(diǎn)E,
∴∠AEC=90°,即AE⊥BC,
∵AB=AC
∴AE為BC邊上的中線,
∴EA=EC
由∵∠AEF=∠AHF=45°
∴∠CEF=90°-45°=45°
∴∠AEF=∠CEF
由等腰三角形三線合一可得EF垂直平分AC,
∴AF=CF
(2)延長AG到N,使GN=AG,連接CN,
∵G為CD中點(diǎn),
∴CG=DG,
在△AGD和△NGC中,
∴△AGD≌△NGC(SAS)
∴∠DAG=∠N,AD=NC,∠ADG=∠NCG
∵AE=AD
∴AE=NC
∵∠EAC+∠CAD=90°,∠BAD+∠CAD=90°,
∴∠EAC=∠BAD
∵∠ADG=∠BAD+∠ABD=∠BAD+45°
∴∠ACN=∠NCG+45°=∠BAD+90°
又∵∠BAE=∠EAC+90°
∴∠ACN=∠BAE
在△ACN和△BAE中,
∴△ACN≌△BAE(SAS)
∴∠CAN=∠ABE
又∵∠ABE+∠AMB=90°
∴∠CAN+∠AMB=90°
∴AG⊥BE
(3)如圖,延長BE,CD交于G,
∵AB∥CD
∴∠ACD=∠BAC=90°,∠G=∠ABE
又∵AB=AE,
∴∠ABE=∠AEB,
∵AEB=∠DEG
∴∠G=∠DEG
∴DG=DE
設(shè)CF=a,則AC=AB=AE=AF+CF=9+a
∵AB∥CD,
∴△ABF∽△CGF
∴,即
解得
∴DE=DG=CG-CD=
∴AD=AE+DE=
在Rt△ACD中,AC2+CD2=AD2
即
令,則原方程變形為
整理得,解得x=0或225
即或
舍去負(fù)根得
∴AD=
故答案為:17.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC是等邊三角形,△ABD是等腰直角三角形,∠BAD=90°,AE⊥BD與點(diǎn)E,連CD分別交AE、AB于點(diǎn)F、G,過點(diǎn)A作AH⊥CD交BD于點(diǎn)H,則下列結(jié)論:①∠ADC=15°;②AF=AG;③△ADF≌△BAH;④ DF=2EH,其中正確結(jié)論的個數(shù)為( )
A.4B.3C.2D.1
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,兩塊完全相同的含30°的直角三角板疊放在一起,且∠DAB=30°,有以下四個結(jié)論,①AF⊥BC;②∠BOE=135°;③O為BC中點(diǎn);④AG:DE=1:3,其中正確結(jié)論的序號是( )
A.①②B.②④C.②③D.①③
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,某校綜合實(shí)踐活動小組的同學(xué)欲測量公園內(nèi)一棵樹DE的高度.他們在這棵樹正前方一座樓亭前的臺階上A點(diǎn)處測得樹頂端D的仰角為30°,朝著這棵樹的方向走到臺階下的點(diǎn)C處,測得樹頂端D的仰角為60°.已知A點(diǎn)的高度AB為2米,臺階AC的坡度為1:(即AB:BC=1:),且B、C、E三點(diǎn)在同一條直線上.請根據(jù)以上條件求出樹DE的高度(測傾器的高度忽略不計).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】向陽中學(xué)數(shù)學(xué)興趣小組對關(guān)于x的方程(m+1)+(m﹣2)x﹣1=0提出了下列問題:
(1)是否存在m的值,使方程為一元二次方程?若存在,求出m的值,并解此方程;
(2)是否存在m的值,使方程為一元一次方程?若存在,求出m的值,并解此方程.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】用直接開平方法解方程:
(1) 4(x-2)2-36=0;
(2) x2+6x+9=25;
(3) 4(3x-1)2-9(3x+1)2=0.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,一塊直角三角形的紙片,兩直角邊AC=6cm,BC=8cm,現(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折疊,使它落在斜邊AB上,且與AE重合,則CD等于( ).
A. 2 cm B. 4 cm C. 3 cm D. 5 cm
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知A是雙曲線y=在第一象限上的一動點(diǎn),連接AO并延長交另一分支于點(diǎn)B,以AB為邊作等邊三角形ABC,點(diǎn)C在第四象限,已知點(diǎn)C的位置始終在一函數(shù)圖象上運(yùn)動,則這個函數(shù)解析式為( )
A. y=﹣ B. y=﹣(x>0) C. y=﹣6x(x>0) D. y=6x(x>0)
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【題目】如圖,A、B、C是直線l上的三個點(diǎn),∠DAB=∠DBE=∠ECB=a,且BD=BE.
(1)求證:AC=AD+CE;
(2)若a=120°,點(diǎn)F在直線l的上方,△BEF為等邊三角形,補(bǔ)全圖形,請判斷△ACF的形狀,并說明理由.
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