Question

如圖，已知直線l：y=kx+b（k，b為常數(shù)，且k≠0）與x軸，y軸分別交于點(diǎn)C，B兩點(diǎn)．⊙A的圓心在x軸上，與x軸交于D，E兩點(diǎn)，且與直線l相切于點(diǎn)B．作矩形OBGF，使得點(diǎn)G在⊙A上，F(xiàn)在x軸上．
（1）填空：用k，b表示點(diǎn)的坐標(biāo)：C

 

；B

 

；A

 

； 
（2）當(dāng)矩形OBGF是正方形時(shí)，求k的值； 
（3）在（2）的前提下，有一條拋物線y=ax²+mx+c（a，m，c均為常數(shù)，其中a≠0），經(jīng)過點(diǎn)D，E兩點(diǎn)，且頂點(diǎn)H，在弓形BG內(nèi)（包括邊界

BG

和弦BG），當(dāng)

5

≤b≤5，請(qǐng)你求出a的范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題,不等式的性質(zhì),勾股定理,矩形的判定與性質(zhì),正方形的性質(zhì),垂徑定理,切線的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：綜合題

分析：（1）連接AB，根據(jù)直線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)特征可用k、b的代數(shù)式表示點(diǎn)C、B的坐標(biāo)；然后通過證明△AOB∽△BOC，就可求出OA長(zhǎng)，從而得到點(diǎn)A的坐標(biāo)．
（2）過點(diǎn)A作BG的垂線，交BG于點(diǎn)M，交⊙A于點(diǎn)N，連接AB，由垂徑定理可得BM=GM，易證四邊形OBMA是矩形，從而得到OA=BM=

1

2

BG=

1

2

OB=

b

2

，而OA=kb，就可求出k的值．
（3）在（2）的條件下可以用b的代數(shù)式表示點(diǎn)D、E的坐標(biāo)，然后將拋物線的解析式設(shè)成交點(diǎn)式，再轉(zhuǎn)化為一般式，就可用a、b的代數(shù)式表示出頂點(diǎn)H的坐標(biāo)，由于頂點(diǎn)H在線段MN之間，從而可以得到關(guān)于a、b的不等式組，然后利用條件“

5

≤b≤5”及不等式的性質(zhì)就可求出a的取值范圍．

解答：解：（1）連接AB，如圖1，
由kx+b=0得x=-

b

k

，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-

b

k

，0），OC=

b

k

．
由x=0得y=b，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，b），OB=b．
∵BC與⊙A相切于點(diǎn)B，
∴AB⊥BC，即∠ABC=90°．
∵∠AOB=90°，
∴∠ABO=90°-∠CBO=∠BCO．
∵∠AOB=∠BOC=90°，
∴△AOB∽△BOC．
∴

OA

OB

=

OB

OC

．
∴OB²=OA•OC．
∴b²=OA•

b

k

．
∴OA=kb．
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（kb，0）．
故答案分別為：（-

b

k

，0），（0，b），（kb，0）．

（2）過點(diǎn)A作BG的垂線，交BG于點(diǎn)M，交⊙A于點(diǎn)N，連接AB，如圖2，
則有AB=AN，BM=GM=

1

2

BG．
∵四邊形OBGF是正方形，
∴BG=OB=b．
∴BM=

1

2

b．
∵∠OBG=∠BOE=∠BMA=90°，
∴四邊形OBMA是矩形．
∴AM=OB=b，OA=BM=

1

2

b．
∵OA=kb，∴kb=

1

2

b．
∵b≠0，∴k=

1

2

．
∴k的值為

1

2

．

（3）如圖2，
∵∠AOB=90°，OA=

1

2

b，OB=b，
∴AN=AB=

OA2+OB2

=

5 b

2

．
∴AD=AE=AB=

5 b

2

．
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（

1- 5

2

b，0），點(diǎn)E的坐標(biāo)為（

1+ 5

2

b，0）．
可設(shè)過點(diǎn)D、E的拋物線的解析式為y=a（x-

1- 5

2

b）（x-

1+ 5

2

b）
則有y=ax²-abx-ab²．
則頂點(diǎn)H的坐標(biāo)為（-

-ab

2a

，

4a•(-ab2)-(-ab)2

4a

），即H（

b

2

，

-5ab2

4

）．
由題可知：點(diǎn)H在線段MN上，
則b≤

-5ab2

4

≤

5 b

2

．
∵b＞0，∴-5b²＜0．
∴-

1

5b

≥

a

4

≥-

5

10b

，即-

5

10b

≤

a

4

≤-

1

5b

．
∵

5

≤b≤5，
∴

5

5

≥

1

b

≥

1

5

．
∴-

5

5

≤-

1

b

≤-

1

5

．
∴-

1

5b

≤-

1

25

，
-

5

10b

≥-

5

5

×

5

10

=-

1

10

．
∴-

1

10

≤-

5

10b

≤

a

4

≤-

1

5b

≤-

1

25

，
∴-

1

10

≤

a

4

≤-

1

25

．
∴-

2

5

≤a≤-

4

25

．
∴a的取值范圍為-

2

5

≤a≤-

4

25

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的切線的性質(zhì)、垂徑定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、不等式的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，有一定的綜合性，而靈活使用不等式的性質(zhì)是解決第三小題的關(guān)鍵．