Question

【題目】已知等邊△ABC的邊長(zhǎng)為4cm，點(diǎn)P，Q分別從B，C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，其中點(diǎn)P沿BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s；
點(diǎn)Q沿CA，AB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s，設(shè)它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x（s），
（1）如圖（1），當(dāng)x為何值時(shí)，PQ∥AB；

（2）如圖（2），若PQ⊥AC，求x；

（3）如圖（3），當(dāng)點(diǎn)Q在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，PQ與△ABC的高AD交于點(diǎn)O，OQ與OP是否總是相等？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵∠C=60°，
∴當(dāng)PC=CQ時(shí)，△PQC為等邊三角形，
于是∠QPC=60°=∠B，
從而PQ∥AB，
∵PC=4﹣x，CQ=2x，
由4﹣x=2x，
解得：x= ，
∴當(dāng)x= 時(shí)，PQ∥AB
（2）解：∵PQ⊥AC，∠C=60°，
∴∠QPC=30°，
∴CQ= PC，
即2x= （4﹣x），
解得：x=
（3）解：OQ=PO，理由如下：
作QH⊥AD于H，如圖（3），

∵AD⊥BC，
∴∠QAH=30°，BD= BC=2，
∴QH= AQ= （2x﹣4）=x﹣2，
∵DP=BP﹣BD=x﹣2，
∴QH=DP，
在△OQH和△OPD中，
，
∴△OQH≌△OPD（AAS），
∴OQ=OP．
【解析】（1）可從結(jié)論入手，若PQ∥AB，可得出△PQC為等邊三角形，PC=4﹣x=CQ=2x，進(jìn)而求出x;（2）利用直角三角形中30度角的性質(zhì)，得出CQ= PC，求出x;(3)通過(guò)Q點(diǎn)作垂線，利用x的代數(shù)式表示QH=DP，構(gòu)造△OQH≌△OPD，進(jìn)而OQ=OP.