【題目】如圖1,在平面直角坐標系中,拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過點A(﹣5,0)和點B10).

1)求拋物線的解析式及頂點D的坐標;

2)點P是拋物線上A、D之間的一點,過點PPEx軸于點E,PGy軸,交拋物線于點G,過點GGFx軸于點F,當矩形PEFG的周長最大時,求點P的橫坐標;

3)如圖2,連接AD、BD,點M在線段AB上(不與A、B重合),作∠DMN=∠DBA,MN交線段AD于點N,是否存在這樣點M,使得DMN為等腰三角形?若存在,求出AN的長;若不存在,請說明理由.

【答案】1)拋物線的表達式為:y=﹣x2x+,D(﹣24);(2)點P的橫坐標為﹣;(3AN1

【解析】

1)根據(jù)拋物線過AB兩點,可用交點式求出拋物線的解析式,然后求拋物線的頂點坐標即可;

2)設(shè)點Pm,﹣m2m+),分別用m表示出PEPG,從而得出矩形的周長與m的二次函數(shù)關(guān)系式,利用二次函數(shù)的頂點式求最值即可;

3)利用相似三角形的判定定理可得△BDM∽△AMN,列出比例式,并根據(jù)平面直角坐標系中任意兩點之間的距離公式分別求出AB、ADBD,最后根據(jù)等腰三角形的腰的情況分類討論即可.

解:(1)∵拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過點A(﹣5,0)和點B10

∴拋物線的表達式為:y=﹣x+5)(x1)=﹣x2x+,

則頂點坐標的橫坐標為: ,代入可得頂點坐標的縱坐標為:4

∴點D(﹣24);

2)設(shè)點Pm,﹣m2m+),

PE=﹣m2m+PG2(﹣2m)=﹣42m,

∴矩形PEFG的周長=2PE+PG)=2(﹣m2m+42m)=﹣m+2+,

∵﹣0,故當m=﹣時,矩形PEFG周長最大,

此時,點P的橫坐標為﹣

3)∵∠DMN=∠DBA,

BMD+BDM180°﹣∠ADB

NMA+DMB180°﹣∠DMN,

∴∠NMA=∠MDB,

∴△BDM∽△AMN,

,

AB1(5)=6ADBD=5,

①當MNDM時,

∴△BDM≌△AMN

即:AMBD5,則ANMBABAM1

②當NMDN時,

則∠NDM=∠NMD

∴△AMD∽△ADB,

AD2AB×AM,即:256×AM,則AM,

,即,

解得:AN

③當DNDM時,

∵∠DNM>∠DAB,而∠DAB=∠DMN

∴∠DNM>∠DMN,

DN≠DM

綜上所述:AN1

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2

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2

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