【題目】如圖,△ABC和△ADE是兩個不全等的等腰直角三角形,其中點B與點D是直角頂點,現(xiàn)固定△ABC,而將△ADE繞點A在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn).
(1)如圖1,當點D在CA延長線上時,點M為EC的中點,求證:△DMB是等腰三角形.
(2)如圖2,當點E在CA延長線上時,M是EC上一點,若△DMB是等腰直角三角形,∠DMB為直角,求證:點M是EC的中點.
(3)如圖3,當△ADE繞點A旋轉(zhuǎn)任意角度時,線段EC上是否都存在點M,使△BMD為等腰直角三角形,若不存在,請舉出反例;若存在,請予以證明.
【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)線段EC上都存在中點M,使△BMD為等腰直角三角形,理由見解析
【解析】
(1)利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出BM=DM=EC,即可得出答案;
(2)根據(jù)AAS證明△DFM≌∠MGB,得FM=BG,DF=MG,根據(jù)線段的和表示EM和MC,可得結(jié)論;
(3)線段EC上都存在中點M,使△BMD為等腰直角三角形,作輔助線,構(gòu)建全等三角形,證明△DFM≌∠MGB(SAS),得BM=DM,∠FMD=∠GBM,再證明∠DMB=90°,可得結(jié)論.
(1)如圖1,∵∠EDC=90°,點M為EC的中點,
∴DM=EC.
同理可得:BM=EC.
∴DM=BM,
∴△DMB是等腰三角形;
(2)過點D作DF⊥EA,過點B作BG⊥AC,
∵△ABC和△ADE是兩個等腰直角三角形,
∴BG=GC=AG,DF=EF=FA,
∴∠DFM=∠BGM=90°,
∴∠FDM+∠DMF=90°,
∵△DMB是等腰直角三角形,
∴DM=BM,∠DMB=90°,
∴∠BMG+∠DMF=90°,
∴∠FDM=∠BMG,
∴△DFM≌∠MGB(AAS),
∴FM=BG,DF=MG,
∵BG=GC,DF=EF,
∴FM=GC,MG=EF,
∵EM=EF+FM,MC=MG+GC,
∴EM=MC,
∴點M是EC的中點;
(3)線段EC上都存在中點M,使△BMD為等腰直角三角形,
理由是:取AE中點F,AC中點G,連接FD,FM,BG,GM,
∵點M是EC的中點,點G是AC的中點,
∴GM=AE,GM∥AE,BG⊥AC,∠BGC=90,
∵F是AE中點,
∴AF=AE,DF⊥AE,∠DFE=90,
∴AF∥GM,AF=GM,
∴四邊形AFMG是平行四邊形,
∴∠AFM=∠AGM,
∴∠EFM=∠MGC.
∵∠DFM=∠EFM+∠DFE=∠EFM+90,
∠BGM=∠MGC+∠BGC=∠MGC+90,
∴∠DFM=∠BGM,
∵GM=AF=DF,
∴DF=GM,
同理可得 BG=FM,
∴△DFM≌∠MGB(SAS),
∴BM=DM,∠FMD=∠GBM,
∵FM∥AC,
∴∠FMG=∠CGM,
∴∠DMB=∠FMD+∠FMG+∠GMB,
=∠GBM+∠CGM+∠GMB,
=180°﹣∠BGC,
=90°,
∴△BMD是等腰直角三角形.
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【題目】如圖,一次函數(shù)y1=x+4的圖象與反比例函數(shù)y2=的圖象交于A(﹣1,a),B兩點,與x軸交于點C.
(1)求k.
(2)根據(jù)圖象直接寫出y1>y2時,x的取值范圍.
(3)若反比例函數(shù)y2=與一次函數(shù)y1=x+4的圖象總有交點,求k的取值.
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【題目】上周六上午點,小穎同爸爸媽媽一起從西安出發(fā)回安康看望姥姥,途中他們在一個服務(wù)區(qū)休息了半小時,然后直達姥姥家,如圖,是小穎一家這次行程中距姥姥家的距離(千米)與他們路途所用的時間(時)之間的函數(shù)圖象,請根據(jù)以上信息,解答下列問題:
(1)求直線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式;
(2)已知小穎一家出服務(wù)區(qū)后,行駛分鐘時,距姥姥家還有千米,問小穎一家當天幾點到達姥姥家?
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【題目】如圖①,在矩形ABCD中,AB<AD,對角線AC,BD相交于點O,動點P由點A出發(fā),沿AB-BC→CD向點D運動設(shè)點P的運動路程為x,△AOP的面積為y,y與x的函數(shù)關(guān)系圖象如圖②所小示,則AD的長為________.
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【題目】某校準備組織一次“研學(xué)之旅”活動,現(xiàn)用抽簽的方式從以下四個地方:九峰公園、柑橘博覽園、平田桐樹坑、長潭水庫(其中九峰公園、平田桐樹坑是愛國主義教育基地)中確定兩個作為活動地點.將四個地點分別寫在4張完全相同的卡片上,背面朝上并洗勻,先從中隨機抽取一張卡片,再從剩下的卡片中隨機抽取一張.則“抽中的兩個地方都是愛國主義教育基地”的概率為_____.
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【題目】如圖,在某一路段,規(guī)定汽車限速行駛,交通警察在此限速路段的道路上設(shè)置了監(jiān)測區(qū),其中點C、D為監(jiān)測點,已知點C、D、B在同一直線上,且AC⊥BC,CD=400米,tan∠ADC=2,∠ABC=35°
(1)求道路AB段的長(結(jié)果精確到1米)
(2)如果道路AB的限速為60千米/時,一輛汽車通過AB段的時間為90秒,請你判斷該車是否是超速,并說明理由;參考數(shù)據(jù):sin35°≈0.5736,cos35°≈0.8192,tan35°≈0.7002
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【題目】2018年5月5日,中國郵政發(fā)行《馬克思誕辰200周年》紀念郵票1套2枚(如圖),這套郵票正面圖案為:馬克思像、馬克思與恩格斯像,背面完全相同.發(fā)行當日,小宇購買了此款紀念郵票2套,他將2套郵票沿中間虛線撕開(使4枚形狀、大小完全相同)后將4枚紀念郵票背面朝上放在桌面上,并隨機從中抽出2張,則抽出的2張郵票恰好都是“馬克思像”的概率為( )
A.B.C.D.
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【題目】某商場用兩個月時間試銷某種新型商品,經(jīng)市場調(diào)查,該商品的第天的進價(元/件)與(天)之間的相關(guān)信息如下表:
時間(天) | ||
進價(元/件) | 40 |
該商品在銷售過程中,銷售量(件)與(天)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示:
在銷售過程中,商場每天銷售的該產(chǎn)品以每件80元的價格全部售出.
(1)求該商品的銷售量(件)與(天)之間的函數(shù)關(guān)系;
(2)設(shè)第天該商場銷售該商品獲得的利潤為元,求出與之間的函數(shù)關(guān)系式,并求出第幾天銷售利潤最大,最大利潤是多少元?
(3)在銷售過程中,當天的銷售利潤不低于2400元的共有多少天?
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【題目】拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過點A、B、C,已知A(﹣1,0),C(0,3).
(1)求拋物線的解析式;
(2)如圖1,P為線段BC上一點,過點P作y軸平行線,交拋物線于點D,當△BDC的面積最大時,求點P的坐標;
(3)如圖2,拋物線頂點為E,EF⊥x軸于F點,M(m,0)是x軸上一動點,N是線段EF上一點,若∠MNC=90°,請指出實數(shù)m的變化范圍,并說明理由.
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