Question

如圖，在△ABC中，AB與AC的中點(diǎn)分別為P，N，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)D，使CD＞BC，若M為BD的中點(diǎn)，Q為MN的中點(diǎn)，求證：直線PQ平分線段CD．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形中位線定理

專(zhuān)題：證明題

分析：連接NP，延長(zhǎng)PQ交AB于E，連接NE、PM、AD四邊形NEMP是平行四邊形，然后根據(jù)三角形的中位線定理證明AD∥NE∥PM，根據(jù)平行線等分線段定理證明．

解答： 證明：連接NP，延長(zhǎng)PQ交AB于E．
在三角形BCD中，P、N分別為BD、CD中點(diǎn)，
∴NP∥BC，且NP=

1

2

BC；
∵NP∥ME，
∴△NPQ∽△MEQ，
又∵NQ=MQ，
∴△NPQ≌△MEQ；
∴EM=PN，
又∵NP∥ME，
∴四邊形NEMP是平行四邊形，
∴NE∥PM．
又∵P和M分別是AB和BD的中點(diǎn)，即PM是△ABD的中位線，
∴PM∥AD，
∴AD∥NE，
又∵N是AC的中點(diǎn)，
∴E是CD的中點(diǎn)，即直線PQ平分線段CD．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行線等分線段定理和三角形的中位線定理，正確作出輔助線是關(guān)鍵．