Question

3．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），點(diǎn)M為頂點(diǎn)，連接OM．若y與x的部分對(duì)應(yīng)值如表所示：

x	…	-1	0	3	…
y	…	0	$\frac{3}{2}$	0	…

（1）求此拋物線的解析式；
（2）如圖1，C為線段OM上一點(diǎn)，過C作x軸的平行線交線段BM于點(diǎn)D，以CD為邊向上作正方形CDEF，CF、DE分別交此拋物線于P、Q兩點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)C，使得正方形CDEF的面積和周長(zhǎng)恰好被直線PQ平分？若存在，求C點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）如圖2，平移此拋物線使其頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，P（0，-1）為y軸上一點(diǎn)，E為拋物線上y軸左側(cè)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，從E點(diǎn)發(fā)出的光線沿EP方向經(jīng)過y軸上反射后與此拋物線交于另一點(diǎn)F，則當(dāng)E點(diǎn)位置變化時(shí)，直線EF是否經(jīng)過某個(gè)定點(diǎn)？如果是，請(qǐng)求出此定點(diǎn)的坐標(biāo)，不是則說明理由．

Answer 1

分析 （1）從表中選取兩組數(shù)據(jù)代入拋物線解析式中，求出b、c即可；
（2）首先求出直線MB的解析式，進(jìn)而表示出E，F(xiàn)，P，Q的坐標(biāo)，利用正方形CDEF的面積的周長(zhǎng)恰好被直線PQ平分，則CP=EQ，求出m的值即可；
（3）首先根據(jù)光的反射可知：點(diǎn)F在點(diǎn)E關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)E₁和點(diǎn)P所成的直線上，設(shè)出點(diǎn)E的坐標(biāo)，表示出E₁，求出直線PE₁，聯(lián)立拋物線求出交點(diǎn)F的坐標(biāo)，求出直線EF的解析式，確定出所過的頂點(diǎn)即可．

解答 解：（1）將（-1，0）（0，$\frac{3}{2}$）代入函數(shù)解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}-b+c=0}\\{c=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{c=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+x+$\frac{3}{2}$；
（2）如圖1，
∵M(jìn)（1，2），B（3，0），設(shè)直線MB的解析式為：y=kx+d，
則$\left\{\begin{array}{l}{k+d=2}\\{3k+d=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{d=3}\end{array}\right.$，
∴直線MB的解析式為：y=-x+3．
設(shè)C（m，2m），∴D（3-2m，2m），
∴正方形CDEF的邊長(zhǎng)為：3-3m，
∴E（3-2m，3-m），F(xiàn)（m，3-m），P（m，-$\frac{1}{2}$m²+m+$\frac{3}{2}$），Q（3-2m，-2m²+4m），
∵正方形CDEF的面積的周長(zhǎng)恰好被直線PQ平分，
∴PQ過正方形的中心，
∴CP=EQ，
∴（-$\frac{1}{2}$m²+m+$\frac{3}{2}$）-2m=（3-m）-（-2m²+4m），
整理得：5m²-8m+3=0，
∴解得：m₁=$\frac{3}{5}$，m₂=1（舍去），
∴C（$\frac{3}{5}$，$\frac{6}{5}$）；
（3）如圖2

∵平移拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+x+$\frac{3}{2}$使其頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，
∴平移后的拋物線為：y=-$\frac{1}{2}$x^{2 ①}，
由光的反射定律可知：點(diǎn)F在點(diǎn)E關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)E₁和點(diǎn)P所確定的直線上，
設(shè)點(diǎn)E（m，-$\frac{1}{2}$m²），則點(diǎn)E關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)E₁（-m，-$\frac{1}{2}$m²），
設(shè)直線PE₁：y=px+q，
把點(diǎn)E₁，點(diǎn)P坐標(biāo)代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}{m}^{2}=-mp+q}\\{-1=q}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{p=\frac{{m}^{2}-2}{2m}}\\{q=-1}\end{array}\right.$，
∴直線PE₁：y=$\frac{{m}^{2}-2}{2m}$x-1  ②
聯(lián)立①②，把①代入②得：$-\frac{1}{2}{x}^{2}$=$\frac{{m}^{2}-2}{2m}$x-1，
解得：x₁=$\frac{2}{m}$，x₂=-m（舍去）
此時(shí)：y=$-\frac{2}{{m}^{2}}$，
所以：點(diǎn)F（$\frac{2}{m}$，$-\frac{2}{{m}^{2}}$），
設(shè)直線EF：y=fx+g，把點(diǎn)E，點(diǎn)F坐標(biāo)代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}{m}^{2}=mf+g}\\{-\frac{2}{{m}^{2}}=\frac{2}{m}f+g}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{f=-\frac{{m}^{2}+2}{2m}}\\{g=1}\end{array}\right.$，
∴直線EF：y=-$\frac{{m}^{2}+2}{2}$x+1，
當(dāng)x=0時(shí)，y=1，
所以：則當(dāng)E點(diǎn)位置變化時(shí)，直線EF經(jīng)過定點(diǎn)（0，1）．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考察二次函數(shù)的綜合問題，會(huì)運(yùn)用待定系數(shù)法求拋物線和直線的解析式，熟悉正方形的性質(zhì)和光的反射定律的運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．