Question

如圖，二次函數(shù)y=-

1

2

x2+c的圖象經(jīng)過點D(-

3

，

9

2

)，與x軸交于A、B兩點．

（1）求c的值；
（2）如圖①，設(shè)點C為該二次函數(shù)的圖象在x軸上方的一點，直線AC將四邊形ABCD的面積二等分，試證明線段BD被直線AC平分，并求此時直線AC的函數(shù)解析式；
（3）設(shè)點P、Q為該二次函數(shù)的圖象在x軸上方的兩個動點，試猜想：是否存在這樣的點P、Q，使△AQP≌△ABP？如果存在，請舉例驗證你的猜想；如果不存在，請說明理由．（圖②供選用）

Answer 1

分析：（1）將D點坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，即可求出待定系數(shù)c的值；
（2）若△ACD與△ABC的面積相等，則兩個三角形中，AC邊上的高相等，設(shè)AC、BD的交點為E，若以CE為底，AC邊上的高為高，可證得△CED和△CEB的面積相等；這兩個三角形中，若以DE、BE為底，則兩個三角形同高，那么DE=BE，由此可證得AC平分BD；
由于E是BD的中點，根據(jù)B、D的坐標(biāo)，即可求出E點的坐標(biāo)，根據(jù)A、E的坐標(biāo)即可用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式；
（3）設(shè)拋物線頂點為N（0，6），在Rt△AON中，易得AN=4

3

，于是以A點為圓心，AB=4

3

為半徑作圓與拋物線在x軸上方一定有交點Q，連接AQ，再作∠QAB平分線AP交拋物線于P，連接BP，PQ，此時由“邊角邊”易得△AQP≌△ABP．

解答：解：（1）∵拋物線經(jīng)過D（-

3

，

9

2

），則有
-

1

2

×3+c=

9

2

，
解得c=6；

（2）設(shè)AC與BD的交點為E，過D作DM⊥AC于M，過B作BN⊥AC于N
∵S_△ADC=S_△ACB，
∴

1

2

AC•DM=

1

2

AC•BN，即DM=BN；
∴

1

2

CE•DM=

1

2

CE•BN，
即S_△CED=S_△BEC（*）；
設(shè)△BCD中，BD邊上的高為h，由（*）得：
 

1

2

DE•h=

1

2

BE•h，即BE=DE，故AC平分BD；
易知：A（-2

3

，0），B（2

3

，0），D（-

3

，

9

2

），
由于E是BD的中點，則E（

3

2

，

9

4

）；
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，則有：
 

-2 3 k+b=0 3 2 k+b= 9 4

，
解得

k= 3 3 10 b= 9 5

；
∴直線AC的解析式為y=

3 3

10

x+

9

5

（3）存在．
設(shè)拋物線頂點為N（0，6），在Rt△AON中，易得AN=4

3

，
于是以A點為圓心，AB=4

3

為半徑作圓與拋物線在x軸上方一定有交點Q，連接AQ，
再作∠QAB平分線AP交拋物線于P，連接BP，PQ，
此時由“邊角邊”易得△AQP≌△ABP．

點評：此題主要考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)解析式的確定、三角形面積的求法、以及全等三角形和直角三角形的判定和性質(zhì)．