Question

某公司推出了一種高效環(huán)保型洗滌用品，年初上市后，公司經(jīng)歷了從虧損到盈利的過(guò)程，如圖的二次函數(shù)圖象（部分）刻畫了該公司年初以來(lái)累積利潤(rùn)s（萬(wàn)元）與時(shí)間t（月）之間的關(guān)系（即前t個(gè)月的利潤(rùn)總和s與t之間的關(guān)系）．根據(jù)圖象提供的信息，解答下列問(wèn)題：
（1）求累積利潤(rùn)s（萬(wàn)元）與時(shí)間t（月）之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求截止到幾月末公司累積利潤(rùn)可達(dá)30萬(wàn)元；
（3）從第幾個(gè)月起公司開始盈利？該月公司所獲利潤(rùn)是多少萬(wàn)元？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)圖象可知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-2）圖象過(guò)（0，0），（4，0）點(diǎn)，所以可設(shè)設(shè)二次函數(shù)的解析式為S=at（t-4），由圖可知當(dāng)t=2，s=-2，所以求出a的值，進(jìn)而求出累積利潤(rùn)s（萬(wàn)元）與時(shí)間t（月）之間的函數(shù)關(guān)系式．
（2）根據(jù)（1）中所求解析式，進(jìn)而得出S=30時(shí)，求出t的值；
（3）第3個(gè)月公司所獲利潤(rùn)=第3個(gè)月公司累積利潤(rùn)-第2個(gè)月公司累積利潤(rùn)．

解答：解：（1）由題意得出：圖象過(guò)（0，0），（4，0）點(diǎn)，則設(shè)解析式為：S=at（t-4），
再利用圖象過(guò)點(diǎn)（2，-2），則-2=a×2×（2-4），
解得：a=

1

2

故拋物線解析式為：S=

1

2

t(t-4)；

（2）當(dāng)S=30時(shí)，
30=

1

2

t（t-4）
解得：t₁=10，t₂=-6（舍去）；

（3）由圖象可得出：當(dāng)t＞2時(shí)，S隨t的增大而增大，所以從第3個(gè)月起開始盈利，
所獲利潤(rùn)為S_（3）-S_（2）=

1

2

×3×（3-4）-

1

2

×2×（2-4）=0.5（萬(wàn)元）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了交點(diǎn)式求二次函數(shù)解析式及二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用．此題為數(shù)學(xué)建模題，借助二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題．