Question

如圖，二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，且經(jīng)過點(diǎn)A（3，3），一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A和點(diǎn)B（6，0）．
（1）求二次函數(shù)與一次函數(shù)的解析式；
（2）如果一次函數(shù)圖象與y相交于點(diǎn)C，點(diǎn)D在線段AC上，與y軸平行的直線DE與二次函數(shù)圖象相交于點(diǎn)E，∠CDO=∠OED，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）由于拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，可設(shè)其解析式為：y=ax²，然后將A點(diǎn)坐標(biāo)代入上式，即可確定該拋物線的解析式；已知了A、B的坐標(biāo)，可利用待定系數(shù)法求得直線AB的解析式；
（2）設(shè)出點(diǎn)D的橫坐標(biāo)，根據(jù)直線AB和拋物線的解析式，可得到D、E的縱坐標(biāo)，進(jìn)而可求得DE和OD²的表達(dá)式，由于DE∥y軸，且∠CDO=∠DEO，易證得△COD∽△ODE，得OD²=DE•OC，OC的長(zhǎng)易求得，將DE、OD²的表達(dá)式代入上式，即可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)．

解答：解：（1）設(shè)二次函數(shù)解析式為y=ax²，
∵點(diǎn)A（3，3）在二次函數(shù)圖象上，
∴3=9a，（1分）
∴a=

1

3

，
∴二次函數(shù)解析式為y=

1

3

x2，（2分）
設(shè)一次函數(shù)解析式為y=kx+b，
∵一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A和點(diǎn)B（6，0），
∴

3=3k+b 0=6k+b

，（3分）
∴

k=-1 b=6

；（4分）
∴一次函數(shù)解析式為y=-x+6；（5分）

（2）∵DE∥y軸，
∴∠COD=∠ODE，
∵∠CDO=∠OED，
∴△CDO∽△OED，（6分）
∴

DE

DO

=

DO

CO

，
∴DO²=DE•CO；（7分）
設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，-m+6），
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（m，

1

3

m2），（8分）
∴OD²=m²+（m-6）²=2m²-12m+36，DE=-m+6-

1

3

m2；（9分）
∵點(diǎn)C（0，6），
∴CO=6；
∴2m²-12m+36=6（-m+6-

1

3

m2），（10分）
∴4m²-6m=0，
∴m₁=0（不符題意，舍去），m₂=

3

2

，（11分）
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（

3

2

，

9

2

）．（12分）

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式的方法以及相似三角形的判定和性質(zhì)，（2）題中，能夠正確的找到與所求相關(guān)的相似三角形是解決問題的關(guān)鍵．