Question

12．已知，在△ABC中∠ACB=90°，AC=BC，點(diǎn)P在△ABC內(nèi)，且PA=3，PB=1，PC=2，求證：∠BPC=135°．

Answer 1

分析 把△APC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△BDC，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得△PCD是等腰直角三角形，BD=AP，∠APC=∠BDC，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出PD，∠PDC=45°，然后利用勾股定理逆定理判斷出△PBD是直角三角形，∠DPB=90°，再求出∠BPC即可得解．

解答 解：如圖，把△APC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△BDC，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，△PCD是等腰直角三角形，BD=AP=3，∠APC=∠BDC，
所以PD=$\sqrt{2}$PC=2$\sqrt{2}$，∠PDC=45°，
∵PD²+PB²=（2$\sqrt{2}$）²+1²=9，
PA²=3²=9，
∴PD²+PB²=BD²，
∴△PBD是直角三角形，∠DPB=90°，
∴∠BPC=90°+45°=135°，
∴∠BPC=135°．
故答案是：135°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理逆定理，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出等腰直角三角形和直角三角形是解題的關(guān)鍵．