Question

9．正方形ABCD的對角線交于點O，AE是△ABC的角平分線，AE交BD于F，G為AB上一點，且BG=BE，
（1）求證：GE=EC；
（2）已知BE=2cm，求OF的長．

Answer 1

分析 （1）首先過點E作EH⊥AC于點H，由正方形ABCD的對角線交于點O，AE是△ABC的角平分線，易得BE=EH，又由△BGE與△CEH是等腰直角三角形，即可得EG=EC；
（2）首先證得△AOF∽△ABE，然后由相似三角形的對應邊成比例，求得答案．

解答 （1）證明：過點E作EH⊥AC于點H，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB⊥BE，
∵AE是△ABC的角平分線，
∴BE=EH，
∵BG=BE，
∴GE=$\sqrt{2}$BE，
∵∠ACB=45°，
∴EC=$\sqrt{2}$EH，
∴GE=EC；

（2）解：∵AE是△ABC的角平分線，
∴∠BAE=∠CAE，
∵∠AOB=∠ABE=90°，
∴△AOF∽△ABE，
∴$\frac{OF}{BE}=\frac{OA}{AB}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵BE=2cm，
∴OF=$\sqrt{2}$cm．

點評 此題考查了正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)．注意準確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．