【題目】在△ABC中,AB=BC,∠ABC=90°.以AB為斜邊作等腰直角三角形ADB.點(diǎn)P是直線DB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接AP,作PE⊥AP交BC所在的直線于點(diǎn)E.
(1)如圖1,點(diǎn)P在BD的延長線上,PE⊥EC,AD=1,直接寫出PE的長;
(2)點(diǎn)P在線段BD上(不與B,D重合),依題意,將圖2補(bǔ)全,求證:PA=PE;
(3)點(diǎn)P在DB的延長線上,依題意,將圖3補(bǔ)全,并判斷PA=PE是否仍然成立.
【答案】
(1)
解:∵AD=DB=1,∠ADB=90°,
∴∠ABP=45°,AB= = ,
∵PE⊥AP,AB⊥BC,
∴PA∥EC,
∴PA⊥AB,
∴四邊形ABEP是矩形,
∵∠ABP=45°,
∴PA=AB,
∴四邊形ABEP是正方形,
∴PE=AB=
(2)
解:∵△ABC和△ADB是等腰直角三角形,
∴∠ADB=90°,∠DAB=∠DBA=45°,
∴∠PBN=45°
∴PE⊥AP,∠DAP=∠BPE=90°﹣∠DPA,
∵∠PAM=45°﹣∠DAP,∠PEN=45°﹣∠BPE,
∴∠PAM=∠PEN,
過P作PM⊥AB于點(diǎn)M,過P作PN⊥BC于點(diǎn)N,
則PM=PN,∠BPN=45°,
在△APM和△EPN中, ,
∴△APM≌△EPN,
∴PA=PE;
(3)
解:∵△ABC和△ADB是等腰直角三角形,
∴∠ABD=45°,
∴∠PBN=45°,∠ABC=90°,
過P作PM⊥AB于點(diǎn)M,過P作PN⊥BC于點(diǎn)N,
則四邊形BMPN是矩形,
∵∠NBP=45°,
∴四邊形BMPN是正方形,
∴PM=PN,
∵AB⊥BC,
∴∠BAN=∠APN,
∵AP⊥PE,
∴∠APN=∠E,
∴∠BAP=∠E,
在△AMP與△ENP中, ,
∴△AMP≌△ENP,
∴AP=PE.
【解析】(1)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠ABP=45°,根據(jù)勾股定理得到AB= = ,推出四邊形ABEP是矩形,得到四邊形ABEP是正方形,于是得到結(jié)論;(2)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠ADB=90°,∠DAB=∠DBA=45°,求得∠PBN=45°過P作PM⊥AB于點(diǎn)M,過P作PN⊥BC于點(diǎn)N,于是得到PM=PN,∠BPN=45°根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論;(3)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠ABD=45°,得到∠PBN=45°,∠ABC=90°,過P作PM⊥AB于點(diǎn)M,過P作PN⊥BC于點(diǎn)N,得到四邊形BMPN是矩形,推出四邊形BMPN是正方形,得到PM=PN,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.
【考點(diǎn)精析】掌握等腰直角三角形和正方形的判定方法是解答本題的根本,需要知道等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形;等腰直角三角形的兩個(gè)底角相等且等于45°;先判定一個(gè)四邊形是矩形,再判定出有一組鄰邊相等;先判定一個(gè)四邊形是菱形,再判定出有一個(gè)角是直角.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1 , x2 .
(1)求m的取值范圍;
(2)當(dāng)x12+x22=6x1x2時(shí),求m的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D為△ABC內(nèi)一點(diǎn),∠CAD=∠CBD=15°,E為AD延長線上的一點(diǎn),且CE=AC.
(1)求∠CDE的度數(shù);
(2)若點(diǎn)M在DE上,且DC=DM,求證:ME=BD.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線y=2x+1與雙曲線y= 的一個(gè)交點(diǎn)為A(m,﹣3).
(1)求雙曲線的表達(dá)式;
(2)過動(dòng)點(diǎn)P(n,0)(n<0)且垂直于x軸的直線與直線y=2x+1和雙曲線y= 的交點(diǎn)分別為B,C,當(dāng)點(diǎn)B位于點(diǎn)C上方時(shí),直接寫出n的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】有這樣一個(gè)問題:探究函數(shù)y= ﹣ x的圖象與性質(zhì). 小東根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn),對(duì)函數(shù)y= ﹣ x的圖象與性質(zhì)進(jìn)行了探究.
下面是小東的探究過程,請(qǐng)補(bǔ)充完整,并解決相關(guān)問題:
(1)函數(shù)y= ﹣ x的自變量x的取值范圍是;
(2)下表是y與x的幾組對(duì)應(yīng)值,求m的值;
x | … | ﹣4 | ﹣3 | ﹣2 | ﹣ | ﹣1 | ﹣ |
| 1 | 2 | 3 | 4 | … |
y | … |
|
|
|
|
|
|
|
| ﹣ | ﹣ | m | … |
(3)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,描出了以上表中各對(duì)對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn).根據(jù)描出的點(diǎn),畫出該函數(shù)的圖象;
(4)進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn),該函數(shù)圖象在第二象限內(nèi)的最低點(diǎn)的坐標(biāo)是(﹣2, ),結(jié)合函數(shù)的圖象,寫出該函數(shù)的其它性質(zhì)(一條即可) .
(5)根據(jù)函數(shù)圖象估算方程 ﹣ x=2的根為 . (精確到0.1)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,BD⊥AC于D.若∠A:∠ABC:∠ACB=3:4:5,E為線段BD上任一點(diǎn).
(1)試求∠ABD的度數(shù);
(2)求證:∠BEC>∠A.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩名同學(xué)相距20m,他們同時(shí)出發(fā),同向而行,甲在乙后,圖中L1、L2分別表示他們二人的路程與時(shí)間的關(guān)系,看圖回答下列問題:
(1)20s時(shí)甲跑了多少米?乙跑了多少米?
(2)甲用幾秒鐘可追上乙?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】雷達(dá)二維平面定位的主要原理是:測量目標(biāo)的兩個(gè)信息―距離和角度,目標(biāo)的表示方法為,其中,m表示目標(biāo)與探測器的距離;表示以正東為始邊,逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后的角度.如圖,雷達(dá)探測器顯示在點(diǎn)A,B,C處有目標(biāo)出現(xiàn),其中,目標(biāo)A的位置表示為,目標(biāo)C的位置表示為.用這種方法表示目標(biāo)B的位置,正確的是( )
A. (-4, 150°) B. (4, 150°) C. (-2, 150°) D. (2, 150°)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,邊長分別為2和4的兩個(gè)全等三角形,開始它們在左邊重疊,大△ABC固定不動(dòng),然后把小△A′B′C′自左向右平移,直至移到點(diǎn)B′到C重合時(shí)停止,設(shè)小三角形移動(dòng)的距離為x,兩個(gè)三角形的重合部分的面積為y,則y關(guān)于x的函數(shù)圖象是( )
A.
B.
C.
D.
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