Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=-x2-bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，點(diǎn)B（1，0）和點(diǎn)C（0，3）．點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)．

（1）求二次函數(shù)的解析式和點(diǎn)D的坐標(biāo)

（2）直線y=kx+n（k≠0）與拋物線交于點(diǎn)M，N，當(dāng)△CMN的面積被y軸平分時(shí)，求k和n應(yīng)滿足的條件

（3）拋物線的對稱軸與x軸交于點(diǎn)E，將拋物線向下平移m（m＞0）個(gè)單位，平移后拋物線與y軸交于點(diǎn)C′，連接DC′，OD，是否存在OD平分∠C′DE的情況？若存在，求出m的值；若不薦在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2-2x+3，點(diǎn)D（-1，4）；（2）k=-2，n＜3；（3）存在，m=．

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法求得解析式，利用二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）聯(lián)立直線與拋物線的解析式得出關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)要使y軸平分△CMN的面積，則M、N兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可得出k值；再根據(jù)而點(diǎn)H在點(diǎn)C之下這一條件，可得出n的取值范圍；

（3）解答本類題目的總體思路在于先假設(shè)存在，若能求出m的值則假設(shè)成立，否則不成立；若存在，首先根據(jù)角平分線的性質(zhì)，得出OH= 1，DH= 4；進(jìn)而設(shè)HG=a，由△DOG的面積建立關(guān)于a的方程組，解之可得點(diǎn)G的坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線DG的表達(dá)式和OC′，與OC作差，即可求出m的值，說明存在OD平分∠C′DE的情況.

（1）y=-x2-bx+c=-x2-bx+3，將點(diǎn)B坐標(biāo)代入上式得：0=-1-b+3，

解得：b=2，

故拋物線的表達(dá)式為：y=-x2-2x+3，

則點(diǎn)A（-3，0）、點(diǎn)D（-1，4）；

（2）設(shè)點(diǎn)M、N的橫坐標(biāo)為x1、x2，

當(dāng)△CMN的面積被y軸平分時(shí)，則x1+x2=0，

將二次函數(shù)表達(dá)式與直線表達(dá)式聯(lián)立并整理得：

x2+（2+k）x+（n-3）=0，

x1+x2=-（2+k）=0，即k=-2，

而點(diǎn)H在點(diǎn)C之下，故n＜3，

故：k=-2，n＜3；

（3）存在，理由：

OD平分∠C′DE，即：∠EDO=∠ODC′，

延長DC′交x軸于點(diǎn)G，過點(diǎn)O作OH⊥DG交于H，

∵∠EDO=∠ODC′，

∴OH=OE=1，DH=DE=4，

設(shè)HG=a，則OG=，

S△DOG=OG×DE=OH×GD，

即：4=1×（4+a），

解得：a=，即點(diǎn)G（，0），

∴直線DG的表達(dá)式為：y=-x+，

即OC′=，

m=3-=．