Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A（﹣2，0），點(diǎn)B（0，2），點(diǎn)E，點(diǎn)F分別為OA，OB的中點(diǎn)．若正方形OEDF繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得正方形OE′D′F′，記旋轉(zhuǎn)角為α．

（1）如圖①，當(dāng)α=90°時(shí)，求AE′，BF′的長(zhǎng)；
（2）如圖②，當(dāng)α=135°時(shí)，求證AE′=BF′，且AE′⊥BF′；

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)α=90°時(shí)，點(diǎn)E′與點(diǎn)F重合，如圖①．

∵點(diǎn)A（﹣2，0）點(diǎn)B（0，2），

∴OA=OB=2．

∵點(diǎn)E，點(diǎn)F分別為OA，OB的中點(diǎn)，

∴OE=OF=1

∵正方形OE′D′F′是正方形OEDF繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的，

∴OE′=OE=1，OF′=OF=1．

在Rt△AE′O中，

AE′= ．

在Rt△BOF′中，

BF′= ．

∴AE′，BF′的長(zhǎng)都等于 ．

（2）解：當(dāng)α=135°時(shí)，如圖②．

∵正方形OE′D′F′是由正方形OEDF繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)135°所得，

∴∠AOE′=∠BOF′=135°．

在△AOE′和△BOF′中，

，

∴△AOE′≌△BOF′（SAS）．

∴AE′=BF′，且∠OAE′=∠OBF′．

∵∠ACB=∠CAO+∠AOC=∠CBP+∠CPB，∠CAO=∠CBP，

∴∠CPB=∠AOC=90°

∴AE′⊥BF′．

（Ⅲ）若直線AE′與直線BF′相交于點(diǎn)P，求點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的最大值（直接寫出結(jié)果即可）．

解：∵∠BPA=∠BOA=90°，∴點(diǎn)P、B、A、O四點(diǎn)共圓，

∴當(dāng)點(diǎn)P在劣弧OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)隨著∠PAO的增大而增大．

∵OE′=1，∴點(diǎn)E′在以點(diǎn)O為圓心，1為半徑的圓O上運(yùn)動(dòng)，

∴當(dāng)AP與⊙O相切時(shí)，∠E′AO（即∠PAO）最大，

此時(shí)∠AE′O=90°，點(diǎn)D′與點(diǎn)P重合，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)達(dá)到最大．

過(guò)點(diǎn)P作PH⊥x軸，垂足為H，如圖③所示．

∵∠AE′O=90°，E′O=1，AO=2，

∴∠E′AO=30°，AE′= ．

∴AP= +1．

∵∠AHP=90°，∠PAH=30°，

∴PH= AP= ．

∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的最大值為 ．

【解析】（1）利用勾股定理即可求出AE′，BF′的長(zhǎng)．（2）運(yùn)用全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)就可解決問(wèn)題．（3）首先找到使點(diǎn)P的縱坐標(biāo)最大時(shí)點(diǎn)P的位置（點(diǎn)P與點(diǎn)D′重合時(shí)），然后運(yùn)用勾股定理及30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半等知識(shí)即可求出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的最大值．
【考點(diǎn)精析】掌握三角形的外角和含30度角的直角三角形是解答本題的根本，需要知道三角形一邊與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角，叫三角形的外角；三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角；在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．