【題目】如圖,在矩形ABCD中,BC=1,∠CBD=60°,點E是AB邊上一動點(不與點A,B重合),連接DE,過點D作DF⊥DE交BC的延長線于點F,連接EF交CD于點G.
(1)求證:△ADE∽△CDF;
(2)求∠DEF的度數(shù);
(3)設(shè)BE的長為x,△BEF的面積為y.
①求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并求出當(dāng)x為何值時,y有最大值;
②當(dāng)y為最大值時,連接BG,請判斷此時四邊形BGDE的形狀,并說明理由.
【答案】(1)證明見解析;
(2)∠DEF=60°;
(3)①y=﹣(x﹣)2+,
∴當(dāng)x為時,y有最大值;
②四邊形BGDE是平行四邊形.
【解析】試題分析:(1)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到∠A=∠ADC=∠DCB=90°,根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠ADE=∠CDF,由相似三角形的判定定理即可得到結(jié)論;
(2)解直角三角形得到CD=,根據(jù)矩形的性質(zhì)得到AD=BC=1.AB=CD=,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到=,根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論;
(3)①根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到CF=3﹣x,根據(jù)三角形的面積公式得到函數(shù)的解析式,根據(jù)二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)即可得到結(jié)論;②根據(jù)當(dāng)x為時,y有最大值,得到BE=,CF=1,BF=2,根據(jù)相似三角形的想得到CG=,于是得到BE=DG,由于BE∥DG,即可得到結(jié)論.
試題解析:(1)在矩形ABCD中,
∵∠A=∠ADC=∠DCB=90°,
∴∠A=∠DCF=90°,
∵DF⊥DE,
∴∠A=∠EDF=90°,
∴∠ADE=∠CDF,
∴△ADE∽△CDF;
(2)∵BC=1,∠DBC=60°,
∴CD=,
在矩形ABCD中,
∵AD=BC=1.AB=CD=,
∵△ADE∽△CDF,
∴,
∵tan∠DEF=,
∴=,
∴∠DEF=60°;
(3)①∵BE=x,
∴AE=﹣x,
∵△ADE∽△CDF,
∴,
∴CF=3﹣x,
∴BF=BC+CF=4﹣x,
∴y=BEBF=x(4﹣x)=﹣x2+2x,
∵y=﹣x2+2x=﹣(x﹣)2+,
∴當(dāng)x為時,y有最大值;
②y為最大值時,此時四邊形BGDE是平行四邊形,
∵當(dāng)x為時,y有最大值,
∴BE=,CF=1,BF=2,
∵CG∥BE,
∴△CFG∽△BFE,
∴,
∴CG=,
∴DG=,
∴BE=DG,∵BE∥DG,
∴四邊形BGDE是平行四邊形.
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【題目】觀察如圖所示的圖形,并閱讀相關(guān)文字信息后回答下列問題:
2條直線相交,最多有1個交點;3條直線相交,最多有3個交點;4條直線相交,最多有6個交點.
(1)8條直線相交,最多有幾個交點?
(2)設(shè)有n條直線相交,最多有y個交點,請用含n的代數(shù)式表示y.
(3)當(dāng)最多交點個數(shù)為4950時,此時直線有幾條?
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【題目】以下四組木棒中,哪一組的三條能夠剛好做成直角三角形的木架( )
A. 7 cm,12 cm,15 cm B. 7 cm,12 cm,13 cm
C. 8 cm,15 cm,16 cm D. 3 cm,4 cm,5 cm
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,⊙O的直徑AB的長為2,點C在圓周上,∠CAB=30°,點D是圓上一動點,DE∥AB交CA的延長線于點E,連接CD,交AB于點F.
(1)如圖1,當(dāng)∠ACD=45°時,求證:DE是⊙O的切線;
(2)如圖2,當(dāng)點F是CD的中點時,求△CDE的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某商場銷售甲、乙兩種品牌的智能手機,甲品牌手機的進(jìn)價是4000元/部,售價為4300元/部,乙品牌的售價進(jìn)價是2500元/部,售價為3000元/部,該商場計劃購進(jìn)兩種手機若干部,共需15.5萬元,預(yù)計全部銷售后可獲毛利潤共2.1萬元,該商場計劃購進(jìn)甲、乙兩種手機各多少部?(毛利潤=(售價﹣進(jìn)價)×銷售量)
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【題目】按下面的程序計算:
當(dāng)輸入x=100時,輸出結(jié)果是299;當(dāng)輸入x=50時,輸出結(jié)果是466;如果輸入x的值是正整數(shù),輸出結(jié)果是257,那么滿足條件的x的值最多有( )
A.1個
B.2個
C.3個
D.4個
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